Vor allem in der Schadenversicherung findet bei der Schadenmodellierung einer Kohorte von Versicherungspolizzen oftmals das kollektive Modell Anwendung. Im kollektiven Modell werden sowohl die Anzahl als auch die Höhe der Schäden als zufällig angenommen. Zur Bestimmung der Gesamtschadenverteilung werden infolgedessen die Faltungen der Einzelschadenverteilung benötigt, deren Berechnungen sehr komplex und rechenaufwändig sein können. Erfüllen die Schadenanzahlverteilung sowie die Einzelschadenverteilung bestimmten Voraussetzungen, ist es allerdings möglich, die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichtefunktion des Gesamtschaden rekursiv zu bestimmen. Da die bekannte Panjer Rekursion nur eingesetzt werden kann, wenn die Schadenanzahl poisson-, binomial- oder negativ binomialverteilt ist, ist es das Ziel dieser Arbeit weitere Rekursionen zur Bestimmung der Gesamtschadenverteilung vorzustellen, zu testen und miteinander zu vergleichen.Im ersten Kapitel dieser Diplomarbeit werden die wichtigsten Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik zusammengefasst. Das zweite Kapitel dient zur Einführung in die Schadenmodellierung. Anschließend wird im dritten Kapitel die bereits erwähnte Panjer Rekursion beschrieben. Die Kapiteln 4 und 5 beschäftigen sich mit den verallgemeinerten Panjer Rekursionen. Während im vierten Kapitel zunächst drei weitere Rekursionen zur Bestimmung der Gesamtschadenverteilung vorgestellt werden, werden diese Rekursionen im Kapitel 5 hinsichtlich ihrer Laufzeit und numerischen Stabilität verglichen. Im Kapitel 6 wird eine weitere Methode zur Berechnung der Gesamtschadenverteilung vorgestellt. Abschließend werden im Kapitel 7 die Grundlagen der Risiko- und Ruintheorie zusammengefasst und mithilfe einer der in Kapitel 4 vorgestellten Rekursionen eine rekursive Methode zur Bestimmung der Ruinwahrscheinlichkeiten hergeleitet.
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Particularly in non-life insurance, the collective model is often used for claims modeling of a cohort of insurance policies. In the collective model, both the number and the amount of claims are assumed to be random. Consequently, to determine the total claims distribution, the convolutions of the individual claims' distribution are required, the calculations of which can be very complex and computationally expensive. However, under certain conditions for the distributions of the number of claims and the distribution of individual claims, it is possible to recursively determine the probability function or density function of the total claims. Since the well-known Panjer recursion can only be used if the number of claims is poisson, binomial or negative binomial distributed, it is the goal of this diploma thesis to present, test and compare further recursions for the determination of the total claim distribution.The first chapter of this diploma thesis summarizes the most important basics of probability theory and combinatorics. The second chapter serves as an introduction to claims modeling. Subsequently, the third chapter describes the aforementioned Panjer recursion. Chapters 4 and 5 deal with generalized Panjer recursions. While in the fourth chapter three further recursions for the determination of the total claims distribution are presented, these recursions are compared in chapter 5 regarding their running time and numerical stability. In chapter 6, another method for the calculation of the total claims distribution is presented. Finally, chapter 7 summarizes the basics of risk and ruin theory and uses one of the recursions presented in chapter 4 to derive a recursive method for calculating ruin probabilities.
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Abweichender Titel nach Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
