Linear stability of the thermocapillary flow in a droplet on a heated wall and chaotic advection in the supercritical flow

Abstract

Die vorliegende Arbeit ist in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil wird die reguläre und chaotische Bewegung von Fluidelementen in einer zweidimensionalen zeitperiodischen Strömung betrachtet. Als Paradebeispiel dient die zweidimensionale Strömung in einem quadratischen Behälter. Die Strömung wird durch einen Deckel angetrieben, der eine harmonische Bewegung mit einem von Null verschiedenem Mittelwert ausführt. Bei einer Erhöhung der mit der Geschwindigkeitsamplitude $U$ gebildeten Reynoldszahl (des Verhältnisses von Trägheits- zu Viskositätskräften $\Rey = U L / \nu$, wobei $L$ die Seitenlänge des Behälters und $\nu$ die kinematische Viskosität des Fluides sind) wächst der Raumanteil, den chaotische Trajektorien einnehmen. Niedrige Frequenzen (in der Größenordnung von $\mathcal{O}(10^{-2})$) der Deckelbewegung, bezogen auf den Kehrwert $U/L$ der konvektiven Zeitskala, führen zu einer großen Anzahl von langgestreckten Kolmogorov-Arnold-Moser-Tori, deren Struktur sensitiv von der Reynoldszahl abhängt. Für diese Frequenzen entstehen chaotische Trajektorien bei $\Rey \sim \mathcal{O}(1)$. Das Gebiet mit chaotischen Trajektorien dehnt sich bei $\Rey \sim \mathcal{O}(10)$ auf den größten Teil des Behälters aus. Höhere konvektiv skalierte Frequenzen in der Größenordnung von $\mathcal{O}(1)$ führen hingegen zu einigen wenigen großen KAM-Tori, die nur schwach von der Reynoldszahl abhängen. Chaotischen Trajektorien entstehen in diesem Fall ab $\Rey \sim \mathcal{O}(10^2)$. Bei gegebener Reynoldszahl existiert eine bestimmte Frequenz, bei der eine optimale Durchmischung des Fluids erzielt wird. Im Bereich $\Rey \in \langle 50, 200 \rangle$ entspricht die optimale Frequenz einer relativen Stokes-Schichtdicke von 0,3 bis 0,4. Im Kontext dieser Arbeit behandelt der erste Teil ein elementares Problem, welches Phänomene veranschaulicht, die das chaotische Mischen in inkompressiblen zeitabhängigen zweidimensionalen Strömungen wie auch in inkompressiblen stationären dreidimensionalen Strömungen bestimmen.Im zweiten Teil wird die lineare Stabilität der stationären, axisymmetrischen thermokapillaren Strömung in thermokapillaren Tröpfchen mit einer sphärischen Oberfläche untersucht. Die Abhängigkeit der kritischen Reynoldszahl für den Einsatz dreidimensionaler Konvektion vom Kontaktwinkel und von der Prandtlzahl wird berechnet und die Struktur der gefährlichsten Störung wird analysiert. Es werden verschiedene Regime symmetriebrechender Instabilitäten gefunden. Für ein sehr flaches Tröpfchen mit kleinem Kontaktwinkel und hoher Prandtlzahl, das vom Substrat beheizt wird, findet man eine klassische Marangoni-Instabilität nahe der Tröpfchenmitte. Bei einem großen Kontaktwinkel wird die erste Instabilität hingegen durch hydrothermale Wellen (HTW) verursacht. Generell ist die kritische Marangoni-Zahl niedriger, wenn das Tröpfchen von der Wand beheizt wird als wenn es von der Wand gekühlt wird. Für eine heiße Wand bleibt der hydrothermale Instabilitätsmechanismus sogar bis zu kleinen Prandtlzahlen von $\mathcal{O}(10^{-3})$ dominant. Die kritische Mode und die Struktur des Grundtemperaturfeldes bei der kritischen Marangonizahl unterscheiden sich in den beiden Fällen (heiße/kalte Wand) erheblich. Nur für sehr kleine Prandtlzahlen und große Kontaktwinkel wird eine rein mechanische Instabilität durch Trägheitseffekte beobachtet. In diesem Fall sind die kritischen Parameter und die Struktur der kritischen Mode für kalte und heiße Wände sehr ähnlich.Schließlich wird im dritten Teil dieser Arbeit die Topologie von Fl\"ussigkeitstrajektorien in einer Modellstr\"omung untersucht, die als lineare Superposition der thermokapillaren Grundströmung mit der kritischen dreidimensionalen Hydrothermalwelle konstruiert wird. Knapp oberhalb der kritischen Schwelle sollte dieses Modell eine gute Näherung der wahren dreidimensionalen Strömung sein, falls die Verzweigung superkritisch ist. Speziell wird der Fall einer beheizter Wand, ein großer Kontaktwinkel und eine hohe Prandtlzahl betrachtet, weil für diese Bedingungen die Bildung von Partikelakkumulationsstrukturen in der Literatur berichtet wurde. Wenn die Stärke der Störströmung circa 10\% der Grundströmung beträgt, bilden sich rotierende KAM-Tori nahe der Kontaktlinie und der freien Oberfläche aus. Basierend auf den bekannten Mechanismen der Partikelakkumulation ist zu erwarten, dass sich im Falle einer Suspension aus dichteangepaßten Partikeln mit geringer Konzentration Akkumulationsstrukturen in der Nähe dieser KAM-Tori ausbilden können, wobei Partikel aus dem Gebiet chaotischer Trajektorien durch Kollision mit der Grenzfläche auf den Attraktor transferiert werden.

This thesis is divided into three distinct parts. In the first part, the regular and chaotic motion of fluid elements in a two-dimensional time-periodic flow is considered. The two-dimensional flow of an incompressible fluid in a square cavity serves as an excellent example. The flow is driven by a lid that oscillates harmonically in its tangential direction with a zero mean velocity. The emergence and gradual growth of the region occupied by chaotic pathlines upon increasing the Reynolds number (the ratio of the inertial and viscous forces $\Rey = U L/\nu$ defined with the velocity amplitude of the lid motion $U$, the length of the side of the cavity $L$ and the kinematic viscosity of the fluid $\nu$) is resolved. Low frequencies of the lid oscillation (of the order of magnitude $\mathcal{O}(10^{-2})$ relative to the inverse of the convective time-scale $U/L$) lead to a high number of stretched Kolmogorov--Arnold--Moser tori and high sensitivity to the Reynolds number. For these frequencies, the region occupied by chaotic trajectories (chaotic sea) emerges at $\Rey \sim \mathcal{O}(1)$ and spreads to most of the domain at $\Rey \sim \mathcal{O}(10)$. On the other hand, higher convective frequencies of the order of 1 lead to a small number of large nested KAM tori and a weak sensitivity to the Reynolds number. The chaotic trajectories then emerge at $\Rey \sim \mathcal{O}(10^2)$. An optimal frequency for fast stirring exists for a given Reynolds number. In the range $\Rey \in \langle 50, 200 \rangle$, the optimal frequency corresponds to the relative Stokes layer thickness of 0.3 to 0.4. In this thesis's overall context, the first part employs the lid-driven cavity flow as a minimalist toy problem illustrating the phenomena that govern stirring in oscillating two-dimensional and steady three-dimensional flows.The second part investigates the linear stability of the steady axisymmetric thermocapillary flow in a droplet with a spherical free surface adhering to a heated or cooled wall. The dependence of the critical Reynolds number on the contact angle and the Prandtl number is computed, and the structure of the most dangerous perturbation is described. Different regimes of symmetry-breaking instability are observed. For a heated wall, a low contact angle, and a high Prandtl number, the Marangoni instability is observed near the center of the droplet. On the other hand, a hydrothermal wave (HTW) instability is found for high Prandtl number and contact angle. For a hot wall, the critical Marangoni number is lower than for a cold wall, and the thermal instability mechanism remains dominant even down to Prandtl numbers as small as $\mathcal{O}(10^{-3})$. The structures of the basic temperature field and of the most dangerous perturbation differ significantly between the two cases (hot or cold wall). A purely inertial instability is observed in the case of a vanishing Prandtl number and large contact angle. In that case, the critical parameters and the perturbation structure are quite similar for cold and hot walls.Finally, the third part of this thesis investigates the topology of fluid trajectories in a model flow constructed as a superposition of the aforementioned basic thermocapillary flow and the most dangerous three-dimensional rotating perturbation mode. The conditions with a heated wall and higher contact angles and Prandtl numbers are considered, for which the formation of particle accumulation structures has been reported in the literature. For the relative magnitude of perturbation of $\mathcal{O}(10\%)$, we find tori approaching close to the free surface near the contact line. Based on the known mechanisms of particle accumulation, it can be expected that in the case of a dilute suspension of density-matched particles, accumulation structures can build near these tori when the collisions of the particles with the free surface transfer them onto the attractor.