Fractional Gaussian fields and the Gaussian multiplicative chaos

Abstract

In dieser Arbeit führen wir die Ein-Parameter Familie von Gauss-verteilten Prozessen - fractional Gaussian fields - ein, welche auch die Brownsche Bewegung, die fraktionale Brownsche Bewegung und das Gaussian free field inkludiert. Dieser Parameter wird auch Hurst parameter genannt. Wir zeigen hier die Existenz und einige Eigenschaften, wie zum Beispiel die Kovarianzstruktur, welche bereits einiges an Arbeit und Wissen in Fourier Analysis und Funktionalanalysis benötigen. Wir konstruieren diese Familie Gauss-verteilter Zufallsvariablen mit Hilfe des Satzes von Bochner-Minlos als ein zufälliges Element des topologischen Dualraums des Schwartz-Raums. Eine in diesem Kontext sehr interessante Frage ist wie man die Markov-Eigenschaft, welche für die Brownsche Bewegung ein bekanntes Konzept ist, für das fractional Gaussian field verallgemeinern kann. Dies benötigt allerdings Vorsicht, da die Umsetzung in diesem Setting nicht so einfach ist. Im Fall des Gaussian free fields führen diese Überlegungen zu einem neuen Konzept, den sogenannten lokalen Mengen. Im zweiten Teil der Arbeit führen wir das Gaussian multiplicative chaos ein, welches derzeit ein in einigen Bereichen noch nicht gut erforschtes Objekt ist und im Bereich der Finanzmathematik wichtige Anwendungen hat. Wir konstruieren das Gaussian multiplicative Chaos direkt mit Hilfe des fractional Gaussian field. Der interessanteste Teil ist hier die Frage, was passiert, wenn man den Hurst Parameter gegen 0 gehen lässt. Wir stellen hierein Konvergenzergebnis, welches von Paul Hager und Eyal Neuman im Jahr 2020 entdeckt wurde, vor. Wie im ersten Teil ist der Beweis sehr lange, wovon wir hier den Großteil zeigen.Zuletzt führen wir noch ein paar Beispiele an, für welche man Konvergenz des Gaussian multiplicative chaos zeigen kann.

In this work we introduce the fractional Gaussian field as a large one-parameter family of Gaussian processes including many important examples, as the Brownian motion, the fractional Brownian motion and the Gaussian free field. This parameter is well known as the Hurst parameter. The existence and first properties, for example the covariance structure, are shown here, what already takes a lot of effort and knowledge in Fourier analysis and functional analysis. We construct the fractional Gaussian field via the Bochner-Minlos theorem, as a random element of the topological dual space of the Schwartz space. One very interesting question is how to generalize the Markov property, which is for the Brownian motion a well known concept, that needs in this general setting some care. In the case of the Gaussian free field we obtain particularly interesting results that lead to a new concept, the so called local sets.In the second part we introduce the Gaussian multiplicative chaos, which is a still very unknown object, but has some important applications in financial mathematics. It can be directly constructed out of a fractional Gaussian field. The interesting part here is what happens if one lets the Hurst parameter go to 0. Here we prove a convergence result by Paul Hager and Eyal Neuman discovered in 2020. Again this takes a very long proof, that we will show the most parts of. At the very end we show some examples one can apply this result on.