Linear stability of the flow in thermocapillary liquid bridges in the presence of the gas phase

Abstract

Die lineare Instabilität der achsensymmetrischen stationären Strömung in thermokapillaren Flüssigkeitsbrücken mit hoher Prandtlzahl wurde numerisch untersucht.Die Strömung wird primär durch den thermokapillaren Effekt angetrieben, welcher Schubspannungen proportional zum Gradienten der Oberflächentemperatur erzeugt. Die Flüssigkeitsbrücke ist von einem geschlossenen oder offenen Zylinder umgeben. Im Falle eines offenen Zylinders wird die Flüssigkeitsbrücke einem axialen Gasstrom mit vorgegebener Temperatur ausgesetzt. Im Grundzustand wird die deformierbare Grenzfläche zwischen der Flüssig- und Gasphase entweder als hydrostatisch bestimmt oder als dynamisch deformierbar angenommen, wobei die Deformation durch die Flüssigkeits- und Gasströmung verursacht wird. Generell wird die Strömung in beiden Phasen gekoppelt berechnet. Basierend auf dem achsensymmetrischen Grundzustand wird eine lineare Stabilitätsanalyse durchgeführt, um die kritische thermokapillare Reynoldszahl in Abhängigkeit des Länge-zu-Radius Seitenverhältnisses, des Flüssigkeitsvolumens, der Gravitationskraft und der Durchflussrate zu berechnen. Da-bei werden verschiedene Näherungen der Grundgleichungen herangezogen, die von der Oberbeck–Boussinesq Approximation bis hin zum realitätsnahen Modell reichen, beidem die Temperaturabhängigkeit aller thermophysikalischen Parameter berücksichtigt wird. Unter allen Kontrollparametern ist die kritische Reynoldszahl besonders empfindlich gegenüber der Richtung der Gasströmung, da das Gas hauptsächlich die Grenzflächentemperatur beeinflusst, die für den thermokapillaren Antrieb entscheidend ist. Sowohl für geschlossene als auch für offene Zylinder mit aufgedrängter axialer Gasströmung haben dynamische Oberflächenverformungen lediglich einen mäßigen Einfluss auf die kritische Reynoldszahl. Für zu hohe Temperaturunterschiede innerhalb der Flüssigkeitsbrücke führt die Oberbeck–Boussinesq Approximation aufgrund der starken Viskositätsschwankungen zu ungenauen Vorhersagen. Neben den Stabilitätsanalysen wird ein reduziertes Einphasenmodell für die flüssige Phase entwickelt, welches herkömmliche Einphasenmodelle verbessert. Im verbesserten Einphasenmodell wird die üblicherweise konstant angenommene Biotzahl durch eine von der Höhe abhängige Biotfunktion ersetzt, die basierend auf zahlreichen Zweiphasensimulationen durch den räumlich aufgelösten Wärmestrom gewonnen wird. Durch die Verwendung der Biotfunktion profitiert das neue Einphasenmodell zum einen von zusätzlich gewonnener Genauigkeit (bedingt durch das Zweiphasenmodell) und zum anderen von den reduzierten Rechenkosten bezogen auf Zweiphasenberechnungen. Alle Berechnungen wurden mit dem Code MaranStable durchgeführt, welcher im Rahmen dieser Arbeit entwickelt wurde. Der Code wurde einschließlich einer graphischen Benutzeroberfläche als Open Source veröffentlicht, wofür umfangreiches Zusatzmaterial wie z.B. Tutorials bereitgestellt wurde.

Numerical calculations have been carried out to investigate the linear instability of the axisymmetric steady flow in high-Prandtl-number thermocapillary liquid bridges covering a wide range of length-to-radius aspect ratios, liquid volumes and gravity levels.The full two-phase problem is solved in which the liquid bridge and its support rods are surrounded by an annular gas duct that can either be sealed or open. For an open gas tube, the liquid bridge can be exposed to an axial gas flow of given temperature.The deformed liquid–gas interface is treated either as hydrostatically determined, or dynamically deformed by the liquid and gas flow (basic state only). Accurate critical data are provided for different approximations of the governing equations ranging from the Oberbeck–Boussinesq approximation to the more realistic model in which the full temperature dependence of all thermophysical parameters is taken into account. Among all control parameters, the critical conditions are particularly sensitive to the direction of the gas flow because the gas mainly affects the interfacial temperature, which is crucial for the thermocapillary driving. Dynamic surface deformations were found to have only a moderate influence on the critical conditions, even if the liquid bridge is exposed to an axial gas flow. When the imposed temperature difference between the two support rods is sufficiently large, the Oberbeck–Boussinesq approximation yields inaccurate predictions because of the large viscosity variation of the liquid. Apart from the linear stability analyses, a reduced single-fluid model is devised for the liquid phase, which improves on the standard single-fluid models that are based on Newton’s law with a constant Biot number. In the improved single-fluid model, the Biot number is replaced by a Biot function depending on the axial coordinate. The Biot function is obtained by extracting the space-resolved heat flux from two-phase simulations for a wide range of aspect ratios and Reynolds numbers by fitting a large set of two-phase simulations. Since the flow instability is almost always triggered in the liquid phase, the use of the Biot function inherits the accuracy of the two-fluid model while requiring only a single-phase solver at much lesser computational cost.All calculations have been carried out using the code MaranStable. It has been developed as part of this thesis. The code, including a graphical user interface, has been made publicly available as open-source, together with extensive documentation and tutorial files.