Multidimensional stochastic integration

Abstract

Die vorliegende Diplomarbeit zielt darauf ab, das stochastische Integral bezüglich mehrdimensionaler stetiger lokaler Martingale und in weiterer Folge stetiger Semimartingale einzuführen und dieses zu diskutieren. Da in der aktuariellen Praxis Vermögenswerte oft als stetige Semimartingale modelliert werden, ist ein möglichst allgemeiner Integralbegriff sehr wichtig, da das stochastische Integral genau den Gewinn oder Verlust einer Handelsstrategie bezüglich dieses Vermögenswertes darstellt. Des Weiteren werden viele Eigenschaften des bekannten Lebesgue-Stieltjes-Integrals auch für das neu eingeführt stochastische Integral nachgewiesen. Kapitel 1 gibt eine kurze Übersicht über die stochastische Integration bezüglich eindimensionaler stetiger lokaler Martingale oder Semimartingale, gemäß [Sch23, Chapter 5]. Das darauffolgende Kapitel basiert zum Teil auf [SC02, Chapter 3] und [CE15, Section 12.5] und liefert zuallererst für jedes d-dimensionale stetige lokale Martingal eine Darstellung seines Kovariationsprozesses als pfadweises Lebesgue-Stieltjes-Integral eines vorhersehbaren matrixwertigen Prozesses bezüglich der Spur des Kovariationsprozesses. Darauf aufbauend wird in Kapitel 3, oder genauer gesagt Abschnitt 3.1, das stochastische Integral bezüglich eines multidimensionalen stetigen lokalen Martingals definiert. Im Anschluss werden einige Eigenschaften, wie zum Beispiel die Linearität im Integranden sowie im Integrator, des soeben definierten stochastischen Integrals behauptet und gezeigt. Danach, in Abschnitt 3.2, wird das stochastische Integral bezüglich multidimensionaler adaptierter und stetiger Prozesse von lokalendlicher Variation definiert. Dies wiederum führt zur Definition des stochastischen Integrals bezüglich multidimensionaler stetiger Semimartingale. Um die vorhin erwähnte Darstellung des Kovariationsprozesses eines stetigen lokalen Martingals als pfadweises Lebesgue-Stieltjes-Integral konstruieren zu können, benötigt man eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes von Radon-Nikodym Dieser Satz sowie die besagte Verallgemeinerung werden in Kapitel 4 bewiesen. Während der gesamten Diplomarbeit werden viele mehr oder weniger bekannte Resultate aus den unterschiedlichsten Teilbereichen der Mathematik verwendet, die mehrheitlich im Appendix, also Kapitel 5, gesammelt zu finden sind. Interessierte Lesende sind gerne eingeladen, sich einige Eigenschaften des stochastischen Integrals bezüglich eindimensionaler stetiger lokaler Martingale oder stetiger Semimartingale in Erinnerung zu rufen und zu versuchen, diese auf den in dieser Arbeit eingeführten Integralbegriff zu verallgemeinern. Alternativ könnte man auch nicht notwendigerweise stetige Integratoren betrachten. Die vorliegende Diplomarbeit stellt nicht den Anspruch dieses spannende Thema im Bereich der Stochastischen Analysis vollständig beleuchtet zu haben, sondern soll eine Einführung darstellen, auf der sehr gerne aufgebaut werden kann.

The thesis at hand aims to introduce and discuss stochastic integration with respect to multi-dimensional continuous local martingales and even continuous semimartingales. As assets are often modeled as continuous semimartingales and the stochastic integral corresponds to the profit or loss of a trading strategy w.r.t. this asset, this is a very relevant topic in the professional life of many practical mathematicians. Furthermore, several useful properties of the well-known Lebesgue-Stieltjes integral are being extended to our stochastic integral processes. Chapter 1 provides a quick overview of stochastic integration with respect to continuous semimartingales, introduced in [Sch23, Chapter 5]. Then the following chapter relies in parts on [SC02, Chapter 3] and [CE15, Section 12.5] and first and foremost provides the covariation process of each d-dimensional continuous local martingale with a representation as a pathwise Lebesgue-Stieltjes integral of a predictable matrix-valued process w.r.t. the trace of the covariation process. Building on those findings, in Chapter 3, or to be more precise Section 3.1, the stochastic integral w.r.t. multi-dimensional continuous local martingale will be defined. Afterwards, some properties of this newly introduced stochastic integral, for example linearity in the integrand as well as the integrator, will be stated and proven. Then, in Section 3.2, the stochastic integral w.r.t. multi-dimensional adapted and continuous process of locally finite variation is being defined as a pathwise Lebesgue-Stieljes integral. Those results then lead to the definition of the stochastic integral w.r.t. a multi-dimensional continuous semimartingale. In order to construct the predictable integrand in the aforementioned representation of the covariation process of a continuous local martingale as a pathwise Lebesgue-Stieltjes integral, an extension of the famous Radon—Nikodym theorem will be used. To prove the Radon-Nikodym theorem as well as many different generalizations of it is the duty of Chapter 4. Throughout this thesis, a lot of more or less well-known results of many different fields of mathematics are being used, which are being found in the appendix, Chapter 5. Any reader interested in the topic of this thesis is more than welcome to consider properties of the stochastic integral w.r.t. one-dimensional continuous local martingales or semimartingales and try to generalize them for the stochastic integral introduced in this thesis. Another possible extension of this work would be to consider not necessarily continuous integrators. The thesis at hand is by no means to be considered as a conclusion, but much more an introduction to this very fascinating topic in the field of Stochastic Analysis.