Micropolar continuum modeling of lattice materials

Abstract

Gittermaterialien gewinnen im Leichtbau zunehmend an Bedeutung, da sie heute mithilfe additiver Fertigungsverfahren mit den gewünschten Eigenschaften hergestellt werden können. Zuverlässige Vorhersagen des mechanischen Verhaltens sind erforderlich, um sie in technischen Anwendungen in effizienter Weise einsetzen zu können. Unter den zahlreichen Versagensmechanismen, die in Gittermaterialen auftreten können, konzentriert sich diese Arbeit auf das Knicken von Gitterbalken, das durch globale Drucklasten verursacht werden kann. Aus Gründen der Effizienz wird dabei ein kontinuumsmechanischer Ansatz auf Basis der mikropolaren Theorie verfolgt. Diese Theorie stellt einen vielversprechenden Ansatz dar, um die benötigten Verformungsmechanismen mithilfe einer internen Länge, welche dieser Theorie zugrunde liegt, zu beschreiben. Allerdings, sind Beulanalysen von Gitterbalken mithilfe mikropolarer Modelle in der Literature nicht üblich. In einem ersten Schritt werden die mikropolar elastischen Konstanten für das zugrundeliegende Konstitutivgesetz bestimmt, da diese im Allgemeinen nicht in der Literatur verfügbar sind. Zusätzlich wird ein geometrisch nichtlineares Modell benötigt, um Beulen untersuchen zu können. Solche Modelle sind nicht als Standardmodelle verfügbar und sind daher erst in ein Finite Elemente Programm zu implementieren. Eine in der Literatur übliche energiebasierte Homogenisierungsmethode wird angewendet, um die mikropolar elastischen Konstanten von 2D und 3D Gittermaterialien zu bestimmen. In Abhängigkeit der getroffenen Annahmen, liefert diese Methode zwei Sätze von Konstanten für ein und dasselbe Gitter. Vergleicht man diese beiden Sätze, so unterscheiden sich einige der Konstanten, die mit dem Rotationsfeld verknüpft sind, sowohl im Vorzeichen als auch in der Größe. Beide Sätze haben in der Literatur zu einer gewissen Kontroverse über die Gültigkeit der Methode im allgemeinen geführt. Daher wird eine numerische Studie auf Basis von 2D Gittern durchgeführt, um einerseits zur Diskussion beizutragen und andererseits eine Grundlage für die Bestimmung der Konstanten für die 3D Gitter zu erhalten, die in dieser Arbeit bestimmt werden sollen. Für den Satz von Konstanten mit negativen Vorzeichen werden dabei die interne Länge des Gitters und die Vernetzungsparameter als zwei konkurrierende Längenskalen identifiziert. Es werden Bedingungen formuliert, um Interferenzen zu vermeiden. Hingegen kann der Satz von Konstanten mit positiven Vorzeichen ohne Einschränkungen verwendet werden, sofern die Diskretisierung ausreichend fein ist, um Gradienten in den kinematischen Feldern abbilden zu können. Basierend auf diesen Ergebnissen werden mikropolare elastische Konstanten für verschiedene 3D Gittertypen ermittelt. Die Validität der Konstanten wird durch den Vergleich von Kontinuumsmodellen mit diskreten Modellen evaluiert. Um Beulen zu untersuchen, wird ein in der Literatur vorgeschlagenes, geometrisch nichtlineares Modell in ABAQUS als Benutzerelement implementiert. Die Implementierung wird anhand von Benchmark-Problemen verifiziert. Es wird untersucht bis zu welchem Grad das Modell, unter der Annahme kleiner Verzerrungen, in der Lage ist, kritische Lasten abschätzen und das Nachbeulverhalten von Gitterbalken abbilden zu können. Diskrete Modelle dienen dabei als Referenz. Das Nachbeulverhalten wird einerseits durch Eigenform affine Imperfektionen, basierend auf linearen Eigenwertanalysen der diskreten Modelle zugänglich gemacht. Andererseits werden zufallsbasierte Imperfektionen verwendet, welche durch gewöhnlich in der additiven Fertigung auftretende Imperfektionen inspiriert sind. Der Vergleich mit diskreten Modellen zeigt, dass die Kontinuumsmodelle sowohl das globale Verhalten qualitativ erfassen als auch Deformationslokalisierungen, solange diese klein sind, abbilden können. Während weitere Studien notwendig sind, um die Grenzen der mikropolaren Modelle bestimmen zu können, die in technischen Anwendungen zwingend erforderlich sind, zeigt diese Arbeit auf, dass mikropolare Kontinuumsmodelle, grundsätzlich die Möglichkeit bieten diskrete Modelle für Beul- und Nachbeulanalysen zu ersetzen.

Lattice materials are becoming increasingly important in lightweight design as they can now be manufactured to meet desired properties using advancing additive manufacturing techniques. Reliable predictions of their mechanical response are required to use them in engineering applications in an efficient way. Among the numerous failure mechanisms that may occur in lattice materials, this thesis focuses on the buckling of lattice beams caused by global compressive loading. For the sake of efficiency, a continuum modeling approach is aimed for, which is addressed by using micropolar continuum theory. It is a promising approach to describe the required deformation mechanisms based on the internal length scale of the micropolar continuum. However, investigating buckling of lattice beams based on micropolar modeling is not common in the literature. In a first step, the micropolar elastic constants for the constitutive relations are determined, since these are generally not available in the literature. Additionally, a geometrically nonlinear model is required to study buckling. Such a model is not yet available out of the box and, therefore, must be implemented in the Finite Element Method framework of interest. An energy-based homogenization approach commonly used in the literature is employed to derive the micropolar elastic constants of 2D and 3D lattices. The method provides two sets of constants for the very same lattice depending on assumptions made during the derivation. Comparing these sets, some of the constants associated with the rotation field differ from each other in both sign and magnitude. Both sets have caused some controversy in the literature about the validity of the method in general. To contribute to the discussion a numerical study is carried out based on 2D lattices. This study is also used as basis for the derivation of the constants of the 3D lattices aimed for in the present thesis. For the set with constants showing negative signs, the internal length of the lattices and the meshing parameters are found to be competing length scales. Conditions are proposed to circumvent such interference. In contrast, the set with constants showing only positive signs can be used without constraints as long as a proper discretization is ensured such that the gradients of the kinematic fields are captured properly. Based on the findings, micropolar elastic constants of various types of 3D lattices are derived. To evaluate the validity of these constants, continuum models are compared to discrete models in terms of strain energies and rotation fields. To study buckling, a geometrically nonlinear model proposed in the literature is implemented in ABAQUS as a user element. For verification of the implementation, benchmark problems are used. It is investigated to what extent the model is capable of estimating critical loads and predicting the postbuckling behavior of lattice beams when remaining within the linear strain regime. Discrete models serve as reference. The postbuckling regime is accessed by imposing eigenmode-affine imperfections based on linear eigenvalue analysis of the discrete models and random-based imperfections inspired by imperfections commonly occurring in additive manufacturing. The comparison with discrete models shows that the overall behavior can be qualitatively captured by the models and that even localizations of deformation are captured as long as the localized deformations remain small. While further studies are necessary to identify the limits of the model to provide the reliability required for any engineering application, the present contribution provides evidence that the micropolar continuum offers the capability of replacing discrete models for buckling and postbuckling predictions of lattice materials.