Large deviations in life insurance

Abstract

Das Gesetz der großen Zahlen hat im Versicherungswesen eine bedeutende Rolle. In dieser Diplomarbeit geht es speziell um die praktische Anwendbarkeit dieses Theorems in der Lebensversicherung, wobei die zugrundeliegende Schäden nicht identisch verteilt sein müssen. Die Hauptannahme dieser Arbeit ist, dass die zentrierten Schäden beschränkt sind und dass die Varianzen von unten beschränkt sind. Wir diskutieren, warum die eingeführtenAnnahmen für einen Lebensversicherer sinnvoll sind. Basierend auf Ergebnissen in "A note on Large Deviations in Insurance Risk" von S.Gerhold erhalten wir eine exponentielle obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der durschnittliche Verlust eine Schwelle überschreitet, ohne dabei in ein kollektives Risikomodell überzugehen. Weiters schätzen wir, anhand der weiteren Resultate des Papers, die Wahrscheinlichkeit, dass der durchschnittliche Verlust einen Schwellenwert abhängig von der Größe eines Portfolios überschreitet. Anschließend untersuchen wir, wie sich das durchschnittliche Risikniveau eines Portfolios nach dem Stornieren einer Polizze ändert und schlagen eine Methode vor, wie man Stornokosten als Teil des Stronoabzugs schätzen kann.

Law of Large Numbers plays a crucial role in actuarial science. We investigate the practical applicability of this theorem in life insurance, without assuming identically distributed claims. The basic assumption throughout this thesis is that the centered claims are bounded and that the variances are bounded from below. We argue why the introduced assumptions make sense for a life insurer. Based on the results in "A note on Large Deviations in Insurance Risk" published by S. Gerhold we obtain an exponential upper bound of the probability of average loss exceeding a threshold without passing to a collective model. Based on further results from the paper we estimate the probability of average loss exceeding a threshold that depends on a portfolio size. Lastly, we study the change of the risk level of a portfolio after cancelling a policy and investigate the calculation approach of this phenomena.