Solution stability in PDE-constrained optimization

Abstract

Mathematical optimal control theory deals with the task of optimizing a cost functional. The cost functional generally depends on trajectories determined by solutions of ordinary differential equations and is additionally influenced by control functions and subject to further constraints. In this work, we consider PDE-constrained optimal control problems, where the control in the optimal control problem occurs at most in an affine manner. For these problems, we investigate the solution stability property of local optimal controls and states. By solution stability, we mean obtaining quantitative estimates of the distance between a local optimal control function of a problem and a control function that solves the system of necessary first-order optimality conditions of a perturbed version of the problem. To study solution stability, we make growth assumptions jointly encompassing the first and second-order variations of the objective functional. To systematize the study of solution stability, we use approaches from the field of variational analysis. This field combines variational calculus and convex optimization methods and provides a framework for treating optimization problems. The so-called strong metric subregularity property is helpful in handling error estimates for numerical approximation in ODE-constrained optimal control problems. Strong metric subregularity appears in the context of set-valued inclusion maps and describes a regularity property of a set-valued map. By this, we mean that the distance of a solution of the map to a resolution of the perturbed map can be estimated based on the size of the perturbation if the set-valued inclusion map is strongly metrically subregular at a certain point. The optimality map is a set-valued inclusion map that includes the necessary first-order optimality conditions, a system consisting of two equations, and a variational inequality. If the optimality map satisfies the strong metric subregularity property, it allows the study of the solution stability property of the problem concerning linear and nonlinear perturbations under a variety of perturbations in a structured manner. The subregularity result obtained forms a basis for studying convergence and error analysis for discretization methods. As a consequence of our investigation, we get Hölder- and Lipschitz-type solution stability estimates for elliptical and parabolic PDG-constrained optimal control problems. Finally, we prove that the theory is applicable to obtain error estimates for the numerical approximation produced by a finite element approximation scheme.

Die mathematische optimale Kontrolltheorie befasst sich mit der Aufgabe der Optimierung eines Kostenfunktionals. Das Kostenfunktional hängt im Allgemeinen von Trajektorien ab, die durch Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen bestimmt und zusätzlich von Kontrollfunktionen beeinflusst werden und weiteren Einschränkungen unterliegen. In dieser Arbeit betrachten wir PDG-beschränkte Optimalkontrollprobleme, bei denen die Kontrolle im Optimalkontrollproblem höchstens auf affine Weise auftritt. Für diese Probleme untersuchen wir die Eigenschaft der Lösungsstabilität lokaler optimaler Kontrollen und Zustände. Unter Lösungsstabilität verstehen wir das Erhalten quantitativer Schätzungen des Abstands zwischen einer lokalen optimalen Kontrollfunktion eines Problems, und einer Kontrollfunktion, die das System aus notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung einer gestörten Version des Problems löst. Für die Untersuchung der Lösungsstabilität, ist es hilfreich Bedingungen an das optimale Kontrollproblem zu finden welche Lösungsstabilität implizieren. Fündig werden wir unter den außreichenden Bedingungen für strikte lokale Optimalität. Es stellt sich heraus, dass einige dieser Bedingungen auch für die Lösungsstabilität ausreichend sind. Wir, betrachten lokale Wachstumsannahmen, die durch eine Bedingung motiviert sind, die in der affinen ODE-beschränkten optimalen Kontrolle auftritt, und gemeinsam die Variationen erster und zweiter Ordnung der Zielfunktion umfasst. Um die Untersuchung der Lösungsstabilität zu systematisieren, verwenden wir Ansätze aus dem Bereich der Variationsanalyse, einem Bereich, der Methoden aus der Variationsrechnung und der konvexen Optimierung kombiniert und einen Rahmen für die Behandlung von Optimierungsproblemen bietet. Die Eigenschaft, der sogenannten starken metrischen Subregularität, hat sich als hilfreich für die Behandlung von Fehlerschätzungen für die numerische Approximation in ODE-beschränkten Optimalsteuerungsproblemen erwiesen. Der Begriff der starken metrischen Subregularität erscheint im Zusammenhang mit mengenwertigen Inklusionsabbildungen und beschreibt eine Regularitätseigenschaft einer mengenwertigen Abbildung. Damit meinen wir, dass der Abstand einer Lösung der Abbildung zu einer Lösung der gestörten Abbildung anhand der Größe der Störung schätzen können, wenn die mengenwertige Inklusionsabbildung an einem bestimmten Punkt stark metrisch subregulär ist. Die Optimalitätsabbildung ist eine mengenwertige Inklusionsabbildung, welche die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung umfasst, ein System bestehend aus zwei Gleichungen und einer Variationsungleichung. Wenn die Optimalitätsabbildung die starke metrische Subregularitätseigenschaft erfüllt, ermöglicht dies, die Lösungsstabilitätseigenschaft des Problems in Bezug auf lineare und nichtlineare Störungen unter einer Vielzahl von Störungen auf strukturierte Weise zu untersuchen. Das erhaltene Subregularitätsergebnis bildet eine Grundlage für die Untersuchung zur Konvergenz- und Fehleranalyse für Diskretisierungsmethoden. Als Konsequenz unserer Untersuchung erhalten wir Lösungsstabilitätsschätzungen vom Hölder- und Lipschitz-Typ für elliptische und parabolische PDG-beschränkte optimale Kontrollprobleme. Abschließend erhalten wir Fehlerschätzungen für die numerische Näherung zu erhalten, die durch ein Finite-Elemente-Approximationsschema erzeugt wird.