Three-particle correlations and where to find them

Abstract

Stark korrelierte Elektronensysteme bergen spannende und interessante Physik, aber auch große theoretische und numerische Herausforderungen. Unabhängige (Quasi-)Teilchenreichen nicht mehr aus, um sie zu beschreiben und Vertexkorrekturen, wie sie in der Sprache der Feynman-Diagrammatik heißen, müssen berücksichtigt werden. Bisher sind solche Korrekturen weitestgehend nur auf dem Ein- und Zweiteilchenniveau untersucht worden. Die vorliegende Dissertation blickt jedoch über diesen Tellerrand hinaus und in das Reich der elektronischen Korrelationen der Dreiteilchendiagramme. Dafür werden die Terminologie und die Konzepte, die bereits vom Zweiteilchenniveau bekannt sind, auf drei Teilchen verallgemeinert. Die diagrammatische Darstellung und Zerlegung der Dreiteilchen-Green’schen-Funktion werden untersucht und der volle, verbundene Dreiteilchenvertex wird eingeführt. Weiters wird die Entwicklung der Dreiteilchen-Green’schen-Funktion bezüglich dem vollen Zweiteilchenvertex vorgestellt und die ersten Terme werden berechnet. Eine Möglichkeit um die Numerik zu vereinfachen ist es, dass wir uns auf bosonische Dreiteilchenkorrelatoren beschränken. Diese haben nur zwei anstatt fünf Frequenz- oder Zeitargumente. Viel wichtiger ist jedoch, dass sie für die Berechnung nichtlinearer Antwortfunktionen verwendet werden können und somit eine physikalische Anwendung für Dreiteilchenkorrekturen darstellen. Mithilfe von numerischen Simulationen werden für ein Anderson-Impurity-Modell und ein Hubbard-Modell Parameterbereiche gesucht, in denen die Antwortfunktionen in zweiter Ordnung in den externen Feldern möglichst groß sind. Wie sich herausstellt, sind einfache Approximation, die nur aus Green’schen Funktionen bestehen in diesen Bereichen nicht ausreichend. Echte Dreiteilchenkorrekturen müssen berücksichtigt werden. Im nächsten Kapitel liegt der Fokus auf Dreiteilchenleitern. Nach der Verallgemeinerung der Bethe-Salpeter-Gleichung auf drei Teilchen, wird eine Approximation für die Dreiteilchenleiter vorgestellt. Diese basiert auf einer geometrischen Reihe von irreduziblen Zweiteilchenvertices und Green’schen Funktionslinien. Leider bleiben die numerischen Ergebnisse, die für ein Anderson-Impurity-Modell berechnet wurden, hinter den Erwartungen. Sie sind nur qualitativ gut und das bei kleinen Werten der lokalen Coulomb-Wechselwirkung. Schließlich wird noch die statistische Fehlerschätzung bei der Weiterverarbeitung von Quantum-Monte-Carlo-Größen untersucht. Genauer gesagt wird die Fehlerfortpflanzung durch diagrammatische Gleichungen am Ein- und Zweiteilchenniveau analysiert. Dies steht nicht in direkter Verbindung zu Dreiteilchenkorrelationen, sondern basiert auf einem früheren PhD-Projekt des Autors. Da jedoch die meisten numerischen Ergebnisse dieser Dissertation auf Berechnungen mit der dynamischen Molekularfeld-Theorie aufbauen, stellt sich die Fehlerschätzung für die Selbstenergie im Allgemeinen als äußerst nützlich heraus.

Strongly correlated electron systems offer exciting and interesting physics but also great theoretical and numerical challenges. Independent (quasi-)particles are insufficient to describe them, and in the language of Feynman diagrammatics vertex corrections have to be taken into account. Hitherto such corrections have by and large only been studied up to the two-particle level. The present thesis, however, looks beyond that and into the realm of electronic correlations on the level of three-particle Feynman diagrams. For this, it is necessary to generalize many concepts and terms that are well-known and understood on the two-particle level. The diagrammatic representation and decomposition of the three-particle Green’s function is studied, and the fully connected three-particle vertex is introduced. We also present the expansion of the three-particle Green’s function in terms of the full two-particle vertex and compute its first few terms. A possible option to make numerics easier is to restrict ourselves to bosonic three-particle correlators. These only have two instead of five frequency or time arguments. More importantly, however, they are required for nonlinear response theory and thus provide a physical application for three-particle corrections. Numerical simulations for an Anderson impurity model and Hubbard model are used to find areas where such response functions in second order in the applied fields become sizeable. It turns out that in these parameter regimes simple approximations with bare or bubble-like diagrams yield bad results and three-particle vertex corrections must indeed be considered. The next chapter of this thesis focuses on three-particle ladders. After generalizing the Bethe–Salpeter equation to three particles, an approximation for the three-particle ladder is introduced. It is built as a geometric series of diagrams based only on irreducible two-particle vertices and Green’s function lines. The numerical results computed for an Anderson impurity model (AIM) are not very rewarding, though. They are only qualitatively good for small values of the local Coulomb interaction. Finally, statistical error estimation of post-processed quantum Monte Carlo quantities is studied. Specifically, the error propagation through diagrammatic equations on the one- and two-particle level, is analyzed. This is not directly tied to three-particle correlations and based on an earlier project. However, since most numerical results in this thesis are based on dynamical mean-field theory calculations, error estimations for the self-energy turned out to be generally very useful.