Beulverhalten von Platten unter Induktionsheizung

Abstract

Das Ziel der vorliegenden Abschlussarbeit ist es, den Beuleintritt und die initiale Beulform von Blechbändern vorherzusagen, die thermisch wie mechanisch belastet werden. Den Hintergrund bilden vielen industrielle Prozesse, bei denen lange Bleche zum Einsatz kommen, die zu einer Schleife zusammengeschweißt und über Umlenktrommeln geführt werden. Zwecks Aufbereitung, aber auch beim späteren Einsatz werden die Bänder lokal erhitzt. Auf energieeffiziente Weise geschieht dies durch Induktion von Wirbelströmen. Neben den thermischen Spannungen zufolge des ungleichmäßigen Aufheizens sind die Bleche auch einer Vorspannung durch die besagten Trommeln ausgesetzt. Mithilfe eines Ritz-Ansatzes und der linearen Beulanalyse soll das Zusammenspiel beider Belastungen beim Beulen untersucht werden. Nacheinander werden zwei Temperaturverteilungen behandelt, die Extremfälle der mitunter sehr komplexen realen Verläufe darstellen. Im ersten Lastfall möge die Temperatur ausschließlich von der Breitenkoordinate abhängen und im zweiten lediglich von der Längskoordinate. Um Extremfälle realer Szenarien handelt es sich insofern, als sprungartige Verteilungen angenommen werden. Jedenfalls sind die gewählten Temperaturfelder gemeinsam mit der vorgegebenen Längskraft für den Spannungszustand des Bleches in seiner ebenen Konfiguration verantwortlich. Im ersten Lastfall wird dieser Spannungszustand analytisch beschrieben, während im zweiten die Simulationsergebnisse der Software ABAQUS zu Hilfe genommen werden. Im nächsten Schritt wird mithilfe eines Ritz-Ansatzes die Gestalt des Durchbiegungsfeldes angenommen. Gemäß der linearen Beulanalyse werden dann die Verzerrungsenergie sowie anschließend die Steifigkeitsmatrix berechnet. Dieser kommt im Rahmen des vorliegenden Stabilitätsproblems besondere Bedeutung zu und ist allen voran von der Längskraft und der thermischen Belastung abhängig. Die kritische Temperaturdifferenz ergibt sich gemeinsam mit der Beulform aus einem verallgemeinerten Eigenwertproblem, das von den Anteilen der Steifigkeitsmatrix handelt. Weil der Ritz-Ansatz stets auch Parameter beinhaltet, in denen er nichtlinear ist, muss zum Abschluss der Berechnungen jeweils eine Minimierungsaufgabe gelöst werden. Der erste Lastfall ähnelt Problemen, für die in der Literatur bereits Lösungen vorliegen. In Anlehnung an diese wird deshalb ein Ansatz gewählt, der in Längsrichtung sinusförmig ist. Es lassen sich sodann die kritische Temperaturdifferenz und auch die Beulwellenzahl in Abhängigkeit der Vorspannung angeben. Weiters wird der Einfluss der erhitzten Breite sowie der Blechdicke untersucht. Die zusätzlich durchgeführten Simulationen in ABAQUS liefern sehr gut übereinstimmende Ergebnisse, sodass die grundsätzliche Vorgehensweise und vor allem auch die Annahme über die Beulformen verifiziert sind. Die wesentliche Erkenntnis beim ersten Lastfall ist der Anstieg der Beulwellenzahl mit zunehmender Längskraft. Beim Längs-Temperaturgradienten sind die Beulformen komplexer, weswegen ein allgemeinerer Ansatz verwendet wird. Schließlich werden damit einige konkrete Kombinationen von Blechdicke und Längskraft untersucht. Der relative Fehler der kritischen Temperaturdifferenz gegenüber den Ergebnissen aus ABAQUS beläuft sich dabei auf 7 bis 45 Prozent. Der Ansatz funktioniert also dem Grunde nach gut, ist aber wohl ausbaufähig. Etwaige Verbesserungsvorschläge betreffen neben den Polynomgraden auch die Unterschiedlichkeit der Abfallraten, mit denen die Beulformen nach vorne und hinten zurückgehen. Jedenfalls geht aus den Untersuchungen klar hervor, dass sich bei dünnerem Blech zunehmend mehr Wellen ausbilden, die der Länge nach parallel verlaufen.

The aim of this master’s thesis is to predict the buckling occurance and shape for metal belts, which are loaded thermally and mechanically. This topic is of interest for many industrial processes relying on long, loop-shaped metal sheets being held and driven by rolls. For preparation and usage purposes these belts need to be heated locally. The induction of eddy currents allows for an energy efficient way to achieve that. The resulting non-uniform temperature distribution causes thermal stresses. An additional mechanical stress state is imposed by the rolls, which may tighten the belt quite intensely. Using a Ritz ansatz and performing a linear buckling analysis, this thesis particularly examines the combined effect of both kinds of loading. Concerning the temperature field, two different load patterns are investigated, each being a limit case of real and therefore more complex distributions. For the first case, the temperature is assumed to only depend on the width coordinate, whereas for the second case it shall only vary in longitudinal direction. Both represent limit cases of reality in the sense, that the considered temperature fields are discontinuous. Along with the imposed pretension, they are responsible for the stress state of the plane configuration. Concerning the first scenario, analytic expressions are provided to describe this stress state. For the second case however, results from the application ABAQUS need to help out. As a next step, a Ritz ansatz is chosen to assess the shape of the transverse displacement field. Following the linear buckling analysis, the strain energy and the stiffness matrix are then calculated. The latter is particularly important for the present stability problem and depends on the pretension as well as the thermal loading. The critical temperature difference along with the buckling shape result from a generalized eigenvalue problem involving all contributions to the stiffness matrix. The applied Ritz ansatz does always contain some parameters, which cause it to become nonlinear. As a consequence, a minimization task needs to be solved at the end.The first load case is similar to problems, that are already solved in literature. Inspired by these solutions, the ansatz is therefore chosen to have sine-shape in longitudinal direction. Finally, the critical temperature difference and the number of waves can be predicted depending on the pretension. Furthermore, the influence of the heated width as well as the sheets thickness are discussed. The additionally run simulations in ABAQUS provide very well matching results, which not only verify the applied methods but also the assumptions made concerning the buckling shapes. The most substantial insight for the first load case is the increasing number of waves when elevating the pretension. For the lenght-wise temperatur change, the buckling modes turn out to be more complex and hence require the usage of a more general ansatz. After all, a few specific combinations of belt thickness and pretension are examined. The relative error of the critical temperature difference compared to the results from ABAQUS stays within a range of 7 to 45 percent. Thus, the ansatz works quite well, even though there is room for improvement. Possible suggestions concern the degrees of the polynomials but also the rates of decline, which cause the buckling shapes to taper off in both length-wise directions. Concluding, the computed results clearly show, that thin sheets have a higher number of buckling waves parallel to the belts edges.