On Optimal decay estimates for hypocoercive evolution equations

Abstract

Das Hauptthema dieser Arbeit ist das Langzeitverhalten von hypokoerziven Evolutionsoperatoren.In einigen Hilberträumen konvergieren die entsprechenden Lösungen exponentiell zum jeweils eindeutigen stationären Zustand. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Bestimmung der optimalen Geschwindigkeit dieser Konvergenz. Im Speziellen soll die Zerfallsrate maximiert,und die multiplikative Konstante in den Zerfallsabschätzungen minimiert werden. Es werden insbesondere zwei hypokoerzive partielle Differentialgleichungsmodelle betrachtet: Die linearen degenerierten Fokker-Planck-Gleichungen und das Goldstein-Taylor-System.Die folgenden Ansätze werden für die Untersuchung der beiden Modelle verwendet: die Zerfallsanalyse der zugehörigen Tensorzerlegung und die Konstruktion geeigneter Lyapunov-Funktionale. Darüber hinaus wird die Optimalität von Zerfallsabschätzungen für endlich dimensionale gewöhnliche Differentialgleichungssysteme, die durch positive stabile Matrizen dargestellt werden, im Detail analysiert. Diese Ergebnisse dienen als wichtiges Werkzeug für die Thematisierung wesentlicher Fragestellungen dieser Arbeit. In der Einleitung stellen wir das Konzept der Hypokoerzitivität,den Rahmen der Evolutionsoperatoren, die Motivationen und die wichtigsten Ergebnisse vor. Der Hauptteil der Arbeit ist in vier Kapitel unterteilt. Im ersten Kapitel zeigen wir explizite optimale Zerfallsabschätzungen für endlich dimensionale gewöhnliche Differentialgleichungen.Das Kurz- und Langverhalten der (degenerierten) Fokker-Planck-Gleichung mit linearem Drift ist die zentrale Thematik des zweiten und dritten Kapitels. Das wichtigste Ergebnis ist die Verbindung zwischen solchen partiellen Differentialgleichungen und deren zugehörigen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit Drift. In der Tat stimmen ihre Propagator-Normen überein. Dies impliziert, dass optimale Zerfallsabschätzungen auf der gewöhnlichen Differentialgleichungsebene auf einfache Weise auf die Ebene der Fokker-Planck-Gleichung übertragbar sind. Schließlich wird im letzten Kapitel die Konvergenz zum Gleichgewicht des Goldstein-Taylor-Modells auf dem eindimensionalen Torus behandelt. Ziel dieser Analyse ist es, eine allgemeine Methode für den Fall zu entwickeln, dass die Relaxationsfunktion nicht konstant ist,indem ein geeignetes Lyapunov-Funktional pseudodifferentieller Natur definiert wird.

The main topic of this thesis is the large-time behaviour of hypocoercive evolution operators. Inthis setting, the solutions converge exponentially to the unique steady state in some prescribed Hilbert spaces. The optimality of the speed of this convergence is the focus of this work. More precisely, the maximization of the decay rate and the minimization of the multiplicative constant appearing in the decay estimates. In particular, two hypocoercive PDE-models are considered:The linear degenerate Fokker-Planck equations and the Goldstein–Taylor system. The following approaches are used for the resolution of the two models: the decay analysis of the associated tensor decomposition and the construction of appropriated Lyapunov functionals,respectively. Moreover, the optimality of decay estimates for finite dimensional ODE-systems represented by positive stable matrices is studied in detail. These results represent an important tool for the resolution of the main questions of this thesis at the PDE-level. In the introduction we present the concept of hypocoercivity, the setting of the evolution operators, the motivations and the main results. After that, the thesis will be divided into four chapters.In the first chapter, we shall display explicit optimal decay estimates for finite dimensiona lODEs. The short- and large-time behaviour of the (degenerate) Fokker-Planck equation with linear drift will be the main subject of the second and the third chapter. The main result inthis regard is the connection between such PDEs and their associated drift-ODEs. In fact, their propagator norms coincide. This implies that optimal decay estimates at the ODE-level carry over to the level of the Fokker-Planck equation in a straightforward way. Finally, the last chapter will focus on the convergence to the equilibrium for the Goldstein-Taylor model on the one dimensional torus. The goal of this analysis is to provide a general method when the relaxation function is not constant, by defining a suitable Lyapunov functional of pseudodifferential nature.