On optimal adaptivity for semilinear PDEs

Abstract

Diese Arbeit widmet sich ratenoptimalen adaptiven Finite Elemente Methoden (AFEMs) zur Lösung von semilinearen, elliptischen partiellen Differentialgleichungen (PDEs). Das zugrundeliegende Modellproblem besitzt einen nichtlinearen Reaktionsterm, wobei der mit der PDE assoziierte Operator lokal Lipschitz-stetig ist. Diese Arbeit präsentiert und analysiert Algorithmen, welche mehrere Fehlerquellen passend austarieren und dadurch ratenoptimal sind, d.h. eine Fehlergröße fällt mit bestmöglicher Rate über der Anzahl der Freiheitsgrade der Diskretisierung. Die drei Hauptkapitel haben folgenden Inhalt:Im ersten Hauptkapitel untersuchen wir eine zielgerichtete AFEM (engl. goal-oriented AFEM, GOAFEM) für semilineare Probleme mit linearer Zielgröße (engl. quantity of interest). Bei GOAFEM steht die ratenoptimale Approximation eines Funktionalwertes der exakten, aber unbekannten Lösung im Vordergrund. Mittels gängiger Dualisierungstechnik ist der Approximationsfehler durch ein Produkt zweier Fehlerkomponenten abschätzbar, wodurch sich Konvergenzraten potentiell addieren. Dadurch ist GOAFEM in der Praxis sehr geschätzt. Der Approximationsfehler im Zielfunktional führt bei nichtlinearen Problemen zu einem nicht-berechenbaren, theoretischen dualen Problem, welches von der exakten Lösung abhängt. Deshalb wird dieses durch ein berechenbares, praktisches duales Problem ersetzt. Passendes Markieren der zu verfeinernden Elemente ermöglicht den Beweis von linearer Konvergenz: Kontraktion des Fehlerprodukts unabhängig davon, welche Fehlerkomponente die markierten Elemente bestimmt. Weiters zeigen wir optimale Konvergenzraten bezüglich der Anzahl der Freiheitsgrade der Diskretisierung. Dies erweitert die Literatur über ratenoptimale GOAFEM erstmalig auf ein Modellproblem mit nichtlinearer PDE.Um das nichtlineare Modellproblem effizient zu lösen, betrachten wir im zweiten Hauptkapitel eine AFEM, welche auch die Anzahl der Linearisierungsschritte adaptiv steuert. Wir nehmen zunächst an, dass die linearisierten Systeme mit linearem Aufwand exakt gelöst werden können. Dann ist der präsentierte Algorithmus (engl. adaptive iteratively linearized FEM, AILFEM) kostenoptimal. Das heißt, eine Fehlergröße fällt mit optimalen Raten über dem kumulativen Rechenaufwand zur Berechnung der numerischen Approximation. Die Hauptschwierigkeit in der numerischen Analysis lokal Lipschitz-stetiger Probleme ist es, die uniforme Beschränktheit aller berechneten Iterierten zu zeigen. Damit können wir volle R-lineare Konvergenz zeigen, d.h. Kontraktion einer Fehlergröße unabhängig von der Wahl der Adaptivitätsparameter und unabhängig davon, ob das Gitter verfeinert wird oder ein weiterer Linearisierungsschritt vollzogen wird. Für hinreichend kleine Adaptivitätsparameter zeigen wir schließlich optimale Konvergenzraten bezüglich des theoretischen Rechenaufwands der präsentierten AILFEM.Im dritten Hauptkapitel analysieren wir die obige AILFEM, wobei das linearisierte Problem mittels eines algebraischen Lösers approximativ gelöst wird. Die numerische Störung dieser inexakten Linearisierung erhöht signifikant die mathematische Schwierigkeit, die uniforme Beschränktheit aller Iterierten zu zeigen. Wie zuvor beweisen wir volle R-lineare Konvergenz einer Fehlergröße, welche nun Diskretisierungs-, Linearisierungs- und algebraischen Fehler beinhaltet. Wir folgern optimale Raten bezüglich des Rechenaufwands. Da nun alle Schritte der AILFEM rigoros mit linearer Komplexität realisierbar sind, sind Konvergenzraten bezüglich des kumulativen Rechenaufwands auch als Raten bezüglich der Gesamtrechenzeit zu verstehen. Dies zeigt sich auch in numerischen Experimenten.

This thesis is devoted to rate-optimal adaptive finite element methods (AFEMs) for semilinear elliptic partial differential equations (PDEs). It considers a model problem with a nonlinear reaction term, where the operator associated to the PDE is locally Lipschitz continuous. By equilibrating various error sources, this thesis proves that all presented algorithms are rate-optimal, i.e., a suitable error quantity converges with optimal decay rate with respect to the number of degrees of freedom of the discretization. The main contributions are the following:First, we investigate a goal-oriented AFEM (GOAFEM) for the semilinear model problem where the principal aim is to approximate a linear functional (quantity of interest) evaluated at the exact, but unknown solution with optimal convergence rates. By means of established duality techniques, the approximation error can be estimated by a product of two approximation errors. This product structure allows that convergence rates add up, contributing substantially to the attractivity of GOAFEMs in practice. For nonlinear problems, the approximation error in the goal first leads to a noncomputable theoretical dual problem that depends on the unavailable exact solution. To make the goal error accessible, we replace this by a computable practical dual problem. A suitable marking strategy for the refinement allows for the proof of R-linear convergence: contraction of the error product regardless of which error component determines the marked elements. Moreover, we show optimal convergence rates with respect to the number of degrees of freedom of the discretization. This, for the first time, extends the literature on rate-optimal GOAFEM to a model problem with underlying nonlinear PDE.Second, to efficiently solve the nonlinear model problem, we consider an AFEM, where the number of linearization steps is also steered adaptively. Under the assumption that all arising linear systems can be solved at linear cost, the proposed algorithm, coined as adaptive iteratively linearized finite element method (AILFEM), is cost-optimal. This means that the suitable error quantity decays with optimal convergence rates with respect to the (theoretical) overall computational cost that is needed to obtain the numerical approximation. The main challenge in the numerical analysis of locally Lipschitz continuous problems is to ensure that all iterates are uniformly bounded. Having achieved this, we prove full R-linear convergence, i.e., contraction of an error quantity independently of the adaptivity parameters and regardless of whether we refine the mesh or perform a linearization step. For sufficiently small adaptivity parameters, we eventually establish optimal convergence rates with respect to the theoretical computational cost of the proposed AILFEM.Third, we analyze the preceding AILFEM, where the linearized problem is additionally solved with an iterative algebraic solver. This perturbation of the exact linearization procedure significantly increases the technicalities to verify uniform boundedness of all iterates. As before, we prove full R-linear convergence for an error quantity that now consists of error components stemming from discretization, linearization, and the algebraic solver. We conclude optimal rates with respect to computational complexity. Importantly, all steps in the AILFEM strategy can now rigorously be realized in linear complexity. Hence, optimal convergence rates with respect to overall computational cost can indeed be understood as optimal convergence rates with respect to computation time. This is also observed in numerical experiments.