On the application of a two-level error estimator to the integral fractional Laplacian

Abstract

In dieser Arbeit betrachten wir, ähnlich wie in [PRS20], einen speziellen a-posteriori Fehlerschätzer, den sogenannten Two-Level Fehlerschätzer. In [PRS20] wurde dieser Fehlerschätzer im Hinblick auf adaptive Randelementmethoden (BEM), insbesondere für die Poisson- und Helmholtzgleichung, untersucht. In dieser Arbeit analysieren wir die Anwendung des Two-Level Fehlerschätzers im Hinblick auf eine adaptive Finite-Elemente-Methode (FEM) zur Lösung einer P^1 -Diskretisierung der Integralversion des fraktionalen Laplaceoperators (−∆)^s , 0 < s < 1. In der mathematischen Modellbildung erfreuen sich fraktionale Differentialoperatoren immer größer werdender Beliebtheit. Mit einer steigenden Anzahl von fraktionalen Differentialgleichungen in mathematischen Modellen werden auch effiziente Methoden zur numerischen Lösung solcher Gleichungen immer gefragter.In [FMP21] wurde bereits ein residual-basierter Fehlerschätzer zur Behandlung einer P^1 -Diskretisierung des fraktionalen Laplaceoperators mittels adaptiver FEM vorgestellt und analysiert. Die numerische Auswertung des residualen Fehlerschätzers ist jedoch aufwendig und erfordert viel Rechenzeit. In dieser Arbeit zeigen wir, dass der in vielen Fällen leichter auszwertende Two-Level Fehlerschätzer eine brauchbare Alternative zum residualen Fehlerschätzer ist. Ein Hauptresultat dieser Arbeit ist, dass, unter gewissen Voraussetzungen, die Verwendung des Two-Level Fehlerschäters zur adaptiven Lösung einer P^1 -Diskretisierung des fraktionalen Laplaceoperators auf die linearer Konvergenz des dabei entstehenden FEM Fehlers führt. Das zweite Hauptresultat ist, dass der entstehende FEM Fehler bezüglich der Anzahl der Elemente der zugrundeliegenden Triangulierungen mit der bestmöglichen algebraischen Rate konvergiert. Wie in [PRS20] basieren die Hauptresultate auf Saturationsannahmen. Grob gesagt geht es dabei darum, dass wir gewisse Annahmen auf das Zusammenspiel zwischen Netzverfeinerung und Fehlerreduktion treffen. Um auch mit wenig Vorwissen eine gute Lesbarkeit zu ermöglichen, geben wir in den ersten Kapiteln eine kurze Einführung über den fraktionalen Laplaceoperator und das abstrakte Setting der adaptiven Finite-Elemente-Methode. Im vorletzten Kapitel beweisen wir die Hauptresultate. Abgerundet wird die Arbeit schließlich durch die Präsentation von numerischen Experimenten, welche die Konvergenz des FEM Fehlers mit optimaler algebraischer Rate veranschaulichen.

Similarly as in [PRS20], we consider a certain two-level error estimator, which is a special type of an a-posteriori error estimator. The effects of the usage of such an error estimator in an adaptive boundary element method (BEM) for the Helmholtz and Poisson equations were thoroughly discussed in [PRS20]. The aim of this thesis is to analyze the effects of using the two-level error estimator in an adaptive finite element method (FEM) for a first order discretization of the integral fractional Laplacian (−∆)^s , 0 < s < 1. In recent years, fractional differential operators such as the fractional Laplacian have become a popular and powerful tool in mathematical modeling. With a growing number of models involving fractional differential equations, efficient methods to numerically solve these equations become increasingly important. Concerning a first order discretization of the integral fractional Laplacian, an adaptive method based on a residual-based error estimator was proposed and analyzed in [FMP21]. However, due to the non-locality of the fractional Laplacian, the numerical evaluation of such a residual-based error estimator may be expensive. The goal of this thesis is to show that a certain two-level estimator, which in some cases may be easier to evaluate, is a valid alternative to residual-based error estimators. The first main result of this thesis is, that, under certain assumptions, the application of an adaptive method based on the two-level estimator to a first order discretization of the integral fractional Laplacian leads to linear convergence of the generated finite element error. The second main result is, that, relatively to the number of elements of the underlying triangulations, the generated FEM error converges with the best possible algebraic convergence rate. Similarly as in [PRS20], the two main results of this thesis require special saturation assumptions. Roughly speaking, we have to make certain assumptions concerning the interplay between mesh refinement and reduction of the FEM error. In order to present a readable thesis, we start by giving a brief introduction to the theory of the fractional Laplacian and discuss its basic properties. Subsequently, we shortly explain the basic concepts of the adaptive finite element method. After that, we provide proofs of our main results. The final chapter of this thesis is dedicated to the presentation of numerical results, which illustrate the convergence of the finite element error with optimal algebraic rates.