Numerical analysis and efficient simulation of micromagnetic phenomena

Abstract

Zeitabhängige mikromagnetische Phänomene werden üblicherweise durch die nichtlineare Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung (LLG) beschrieben. Die Dynamikvon LLG wird vom effektiven Feld induziert, welches vom mikromagnetischen Energiefunktional abgeleitet wird, meist gekoppelt an andere partielle Differentialgleichungen wie dem Maxwell-System.Diese Dissertation behandelt numerische Herausforderungen der zuverlässigen und effizienten Integration von LLG. Der Fokus liegt auf drei Familien von numerischen Finite-Elemente-Verfahren, welche (unbedingt) gegen eine schwache Lösung von LLG konvergieren: das Midpoint-Verfahren von Bartels & Prohl (2006),das Tangent-Plane-Verfahren von Alouges (2008), und zwei Prädiktor-Korrektor-Verfahren von Kim & Wilkening (2018). Wir erweitern das Tangent-Plane-Verfahren und das Midpoint-Verfahren aufallgemeinere Energiebeiträge, sodass die nicht standardmäßige Dzyaloshinskii-Moriya Wechselwirkungsenergie (DMI) abgedeckt wird, welche essenziell für die Enukleation und die Stabilisierung von chiralen magnetischen Skyrmionen ist. Unsere Konvergenzanalysis ist konstruktiv und zeigt dieExistenz von schwachen Lösungen für LLG mit DMI, was - soweit wir wissen - in der Literatur fehlte. Unsere numerischen Experimente deuten darauf hin, dass in den meisten Szenarien das günstigere Tangent-Plane-Verfahren hinreichend genaue Simulationen ermöglicht. In einer vergleichenden numerischen Studie beobachten wir jedoch, dass für sehr sensitive Dynamiken, welche wesentlich von einer akkuraten Energieevolution abhängen, das Midpoint-Verfahren die zuverlässigsten Resultate liefert.Wir formulieren und analysieren effiziente Strategien für die Lösung diskreter Systeme, welche im Tangent-Plane-Verfahren oder im Midpoint-Verfahren vorkommen: Wir führen die - soweit wir wissen - erste rigorose Analysis für das nichtlineare Midpoint-Verfahren für dreidimensionalen Mikromagnetismus mit einer Newton-Linearisierung durch. Des Weiteren leiten wir für das nicht-symmetrische lineare Tangent-Plane-System, welches im zeitabhängigen diskreten Tangentialraum gestellt ist, mögliche Vorkonditionierungsstrategien her, die zu linearer Konvergenz des vorkonditionierten GMRES-Algorithmus führen.Für die Prädiktor-Korrektor-Verfahren von Kim & Wilkening schließen wir einefundamentale analytische Lücke indem wir deren unbedingte Wohldefiniertheit zeigen. Unsere Analysis deckt selbst den Fall eines verschwindenden Gilbert-Dämpfungsparameters ab. Zusätzlich schlagen wir implizit-explizite Adaptionen der Verfahren vor, welche den Rechenaufwand drastisch reduzieren und dabei deren formale Konvergenzordnung erhalten.Unsere theoretischen Beiträge werden stets durch numerische Experimente belegt und weitergehend untersucht. Ein zentraler Punkt dieser Dissertation ist die Entwicklung eines leicht zu benutzenden open-source Softwaremoduls für die Simulation von mikromagnetischen Phänomenen: Das Modul Commics basiert auf derFinite-Elemente-Bibliothek NGSolve, ist frei verfügbar auf GitLab,implementiert die in dieser Dissertation untersuchten Finite-Elemente-Integratoren, und stellt ein Werkzeug zur Verfügung, um die Forschung zur numerischen Integration von LLG zu verbessern und zu fördern.

Time-dependent micromagnetic phenomena are usually described by the nonlinear Landau-Lifshitz-Gilbert equation (LLG). The driving force of LLG is the effective field, which is derived from the micromagnetic energy functional,usually coupled to other partial differential equations like the Maxwellsystem.This thesis addresses some of the numerical challenges of the reliable and efficient integration of LLG. The focus is on three families of finite element-based numerical schemes that are proven to be (unconditionally) convergent towards a weak solution of the problem: the midpoint scheme by Bartels & Prohl (2006), the tangent plane scheme by Alouges (2008), and two recent predictor-corrector methods by Kim & Wilkening (2018). We extend the tangent plane scheme and the midpoint scheme to more generalenergy contributions, covering the non-standard Dzyaloshinskii-Moriyainteraction (DMI) energy, which is the essential ingredient for the enucleation and the stabilization of chiral magnetic skyrmions. Our constructiveconvergence analysis proves the existence of weak solutions in presence of DMI,which - to the best of our knowledge - was missing in the literature. Ournumerical experiments hint that in most scenarios the cheaper tangent planescheme provides sufficiently accurate simulations. In a comparative numerical study we observe, however, that for very sensitive dynamics crucially relyingon an accurate energy evolution the midpoint scheme yields the most reliable results.We propose and analyze strategies for the efficient solution of discretesystems obtained from the tangent plane scheme or from the midpoint scheme: We provide - to the best of our knowledge - the first rigorous analysis of the nonlinear midpoint scheme for three dimensional micromagnetics linearized by Newton's method. Further, for the constrained and non-symmetric linear systemarising from the tangent plane scheme and posed in the time-dependent discrete tangent space, we derive possible preconditioning strategies, which guarantee linear convergence of the preconditioned GMRES algorithm.For the predictor-corrector methods recently proposed by Kim & Wilkening, we close a fundamental gap in the original work by establishing unconditional well-posedness of the schemes. Our analysis even covers the case of avanishing Gilbert damping parameter. Moreover, we propose implicit-explicitversions of the predictor-corrector methods, drastically reducing the computational cost, while preserving the formal convergence order.All our theoretical contributions are accompanied by supportive numerical experiments. As a central element of the thesis, inspired by our theoretical findings, an easy-to-use open-source software module for the simulation of micromagnetic phenomena is developed: The module Commics is based on the multiphysics finite element library NGSolve, is freely available on GitLab,implements the state-of-the-art finite element integrators discussed in this thesis, and thus provides a means to enhance and promote research on the numerical integration of LLG.