Reliable goal-oriented adaptive FEM

Abstract

Diese Arbeit betrachtet zielorientierte adaptive Finite Elemente Methoden (GOAFEM, engl. goal-oriented adaptive finite element method).Diese versuchen, eine von der Lösung einer partiellen Differentialgleichung (PDE, engl. partial differential equation) abgeleiteten Zielgröße zu approximieren. Trotz der praktischen Relevanz von GOAFEM ist mathematische Forschung dazu rar.Insbesondere ist die existierende Forschung zu optimaler GOAFEM im Wesentlichen auf lineare elliptische PDEs mit linearen Zielen beschränkt. In dieser Arbeit erweitern wir existierende Resultate zu GOAFEM in Richtung praktisch relevanterer Szenarien und entwerfen Algorithmen, die zuverlässig die Zielgröße mit hoher (oder sogar optimaler) Effizienz approximieren.Zuerst wird ein kurzer Überblick über existierende Resultate zu optimaler GOAFEM gegeben, bevor wir erstmals GOAFEM für lineare elliptische PDEs mit quadratischem Ziel betrachten.Wir stellen einen adaptiven Algorithmus vor, der ein linearisiertes duales Problem für Fehlerschätzung und Markierung verwendet und mit dem auftretenden Linearisierungsfehler umgehen kann.Wir beweisen Konvergenz dieses Algorithmus für jedes quadratische Ziel und, darüber hinaus, Konvergenz mit optimalen algebraischen Raten, sofern die Fréchet-Ableitung des Ziels kompakt ist.Als nächstes untersuchen wir die Optimalität von GOAFEM für lineare elliptische PDEs mit linearem Ziel, wobei die primale und duale Lösung durch einen (inexakten) iterativen Löser berechnet werden.Wir beobachten, dass die diskrete Zielgröße in diesem Fall korrigiert werden muss und beweisen (lineare) Konvergenz des korrigierten Zielfehlers unter der einzigen Annahme, dass der Löser kontraktiv ist.Weiters präsentieren wir Kriterien basierend auf a posteriori Fehlerschätzern für den Diskretisierungsfehler und den algebraischen Fehler, um den iterativen Löser in jedem Schritt des adaptiven Algorithmus zu terminieren.Falls die involvierten Parameter hinreichend klein sind, ist der resultierende adaptive Algorithmus optimal in Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade und sogar die gesamte Rechenzeit, die auch den Aufwand für das iterative Lösen inkludiert.Als Anwendung für GOAFEM betrachten wir danach Parameterschätzprobleme für lineare elliptische PDEs, die von einer endlichen Anzahl an Parametern abhängen.Die Parameter werden durch Vergleich von Experimentaldaten und numerischen Simulationen berechnet, welche mittels GOAFEM durchgeführt werden können, indem die Parameter als Zielgröße betrachtet werden.Wir beweisen eine neuartige a priori Abschätzung für den Parameterfehler, basierend auf PDEs, die vom primalen und dualen Problem abhängen.Indem diese Abschätzung als Basis einer Abschätzung durch gewöhnliche a posteriori Residualschätzer für Energiefehler fungiert, können wir einen adaptiven Algorithmus entwerfen, bei dem die Konvergenzrate der a posteriori Abschätzung der des Parameterfehlers entspricht.In allen Teilen der Arbeit präsentieren wir numerische Belege für unsere theoretischen Ergebnisse.Der letzte Teil der Arbeit gilt daher Implementierungsaspekten numerischer Experimente für GOAFEM, wobei wir eine objektorientierte Matlab-Implementierung im Detail beschreiben.Diese Bibliothek implementiert FEM höherer Ordnung für elliptische PDEs zweiter Ordnung, wobei die Koeffizienten sehr allgemein gewählt werden können, um auch die meisten Fälle, die typischerweise bei der iterativen Linearisierung nichtlinearer PDEs auftreten, abzudecken.Insbesondere umfasst der Code alle angegebenen numerischen Experimente.

This thesis considers goal-oriented adaptive finite element methods (GOAFEM), which aim to approximate some quantity of interest, the goal value, derived from the solution of a partial differential equation (PDE).Despite the practical relevance of GOAFEM, mathematical research on it is scarce and, in particular, existing research on optimal algorithms for GOAFEM is essentially limited to linear elliptic PDEs with linear goals.In this thesis we extend existing results of GOAFEM towards practically more relevant cases and design algorithms that reliably approximate the goal value at high (or even optimal) efficiency.First, we give a brief overview of the existing results on optimal GOAFEM before we consider, for the first time, GOAFEM for linear elliptic PDEs with quadratic goal.We propose an adaptive algorithm that uses a linearized dual problem for error estimation and marking, and deals with the arising linearization error.We prove convergence of this algorithm for every quadratic goal and even convergence with optimal algebraic rates in the case that the Fréchet derivative of the goal is compact.Next, we investigate optimality results of GOAFEM for linear elliptic PDEs with linear goal, where the primal and dual problem are solved by an (inexact) iterative solver.We observe that the discrete goal value needs to be corrected in this case, and prove (linear) convergence of the corrected goal error under the sole assumption that the solver is contractive.Furthermore, we present criteria to stop the iterative solver on each step of the adaptive algorithm based on a posteriori error estimates of both discretization error and algebraic error.If the involved parameters are sufficiently small, the resulting adaptive algorithm is optimal with respect to the number of degrees of freedom and even with respect to the total computational cost, which also includes the cost of the iterative solver.As an application of GOAFEM, we then consider parameter estimation problems for linear elliptic PDEs that depend on a finite number of parameters.These parameters are inferred by comparing experimental data to numerical simulations, which, by regarding the parameters as a goal value, can be performed by GOAFEM.We prove a novel a priori estimate for the error in the parameters, based on a set of PDEs corresponding to primal and dual problem.Using this estimate as the basis of an estimate by usual a posteriori residual estimators for the energy error, we are able to design an adaptive algorithm, where the a posteriori bound matches the rate of convergence of the parameter error.Throughout, we give numerical evidence to support our theoretical findings.The last part of this thesis is dedicated to implementational aspects of numerical experiments for GOAFEM, where we give the details of an object oriented implementation in Matlab.The library implements higher-order FEM for second-order elliptic PDEs where the coefficients can be quite general, covering also most cases typically arising from the iterative linearization of nonlinear PDEs.In particular, the code covers all presented numerical experiments.