Mesh refinement techniques for TCAD tools

Abstract

Der Einsatz verlässlicher numerischer Simulationen auf dem Gebiet der Fertigung von Halbleiterbauelementen ist eine der wichtigsten Alternativen zu teurer und zeitaufwendiger experimenteller Forschung. Die Verwendung von computerunterstützten Methoden in der Entwicklung modernster Bauelemente ist somit zu einem enormen wirtschaftlichen Faktor für den Produzenten geworden.<br />Ein wesentlicher Bestandteil fast aller numerischen Berechnungen ist die Zerlegung eines räumlichen Simulationsgebietes in kleine Gitterelemente. Dieser Diskretisierungsvorgang ist von entscheidender Wichtigkeit, da die Dichte des Gitters im höchsten Maße die Genauigkeit der Simulation bestimmt. Wird allerdings eine zu feine Auflösung gewählt, steigen der Speicherverbrauch und die Verarbeitungszeit drastisch an.<br />Um diesem Effekt entgegenzuwirken sollte ein Gitter immer so beschaffen sein, dass es eine hohe Dichte in kritischen Bereichen und eine angemessene, geringere Dichte in den übrigen Gebieten aufweist. Basierend auf diesem Grundsatz wurden für Simulationen aus dem Bereich der Entwicklung von Halbleiterbauelementen drei Gitterverfeinerungsverfahren entworfen. Diese erhöhen nicht nur die Genauigkeit numerischer Berechnungen, sondern reduzieren gleichzeitig Rechenzeit und Speicherverbrauch.<br />Die Einführung von richtungsabhängigen Gitterdichten bietet zusätzlich die Möglichkeit, die Anzahl der Gitterelemente bei gleicher oder hoeherer Genauigkeit weiter zu reduzieren.<br />Die Entwicklung von richtungsabhängigen Gitterverfeinerungen ist ein wesentlicher Bestandteil dieser Arbeit, die sich in einen theoretischen und einen anwendungsbezogenen Teil gliedert.<br />Der theoretische Teil beschreibt zunächst grundsätzliche Konzepte, die an vielen illustrativen Beispielen erläutert werden. Basierend auf diesen Grundlagen wird eine richtungsabhängige Zerlegung präsentiert, die sehr gezielt gesteuert werden kann, um typischen Simulationsanforderungen zu genügen.<br />Der anwendungsorientierte Teil beschäftigt sich mit drei unterschiedlichen Anwendungsgebieten, in welchen der praktische Einsatz der im theoretischen Teil erarbeiteten Gitterverfeinerungsverfahren dargestellt wird.<br />Die Simulation der Diffusion, als ein bei der Herstellung von Bauelementen eingesetzter physikalischer Prozess, fordert spezielle Gitterverfeinerungsverfahren. Eine Kombination aus Fehlerschätzung und gezielter Gitteroptimierung wurde entwickelt, um Simulationen mit hoher Genauigkeit zu garantieren.<br />Für die Simulation von Elektromigration in kleinsten Kupferleitungen, wie sie in einem Chip Verwendung finden, wurde ein dynamisches Gitteradaptierungsschema entworfen, welches auch die Vergröberung von Gittern gestattet. Dieses erlaubt es, die Gesamtanzahl an Gitterelementen so gering wie möglich zu halten.<br />Das dritte Anwendungsgebiet führt in den Bereich der sogenannten Full Band Monte Carlo Simulationen. Dieses Anwendungsgebiet erfordert ein Gitter, welches die Natur der Leitungs- und Löcherbänder in Halbleiter-Kristallen widerspiegelt. Hier kommt ein Verfeinerungsverfahren zum Einsatz, welches für eine vorgegebene Bandstruktur ein optimiertes Gitter für den Energieraum erzeugt.<br />

Driven by Moore's law semiconductor manufacturers are permanently investigating new fabrication technologies and developing next generation semiconductor devices. In order to deal with these challenges the impact of technology computer-aided design (TCAD) has been increasing enormously in recent years. Reliable numerical simulation of semiconductor processes and devices enables the manufacturers to significantly reduce costs but also to virtually explore novel ``cutting-edge'' devices at an early pathfinding stage. Two- and three-dimensional simulations and optimizations allow to make faster decisions and to reduce the number of expensive fab experiments. Almost any state-of-the-art computational TCAD method depends on a spatial discretization of the simulation domain, generally referred to as mesh.<br />It is a known fact that the quality of the mesh has the most influence on the numerical solution and is therefore the weak spot in a typical analysis application. If a dense mesh is given, almost any solver can compute an accurate solution. On the other hand side, if too few points are used in critical locations, the calculation of correct results can be problematic, erroneous, or even impossible. In contrast, too many mesh points slow down the numerical evaluation and increase the memory consumption. Both are crucial parameters and must be tracked very meticulously.<br />In order to strike a balance between accuracy and the consumption of computational resources meshing should be done judiciously. This means that only in regions of particular interests a fine mesh is used whereby other domains are of coarse granularity. To put this leading record into practice three sophisticated mesh refinement strategies have been developed and presented in the context of typical TCAD applications.<br />In addition a novel approach is presented which allows the incorporation of spatial distortion in the sense of anisotropic mesh elements. Compared to strict regular meshes with the same mesh density in all spatial directions, appropriate anisotropic meshes significantly reduce the consumption of computational resources while increasing or at least preserving the accuracy.<br />This thesis consists of two main parts. The first one is a mostly theoretical presentation of recent developments in the area of refinement strategies. Various introductory examples are given, illustrated with colorful interpretations of theoretical concepts. The second part shows different mesh refinement applications in the field of diffusion, electromigration, and full band Monte Carlo simulations.<br />To focus on the improvement of accuracy a heuristic error estimator is presented for diffusion simulation, which is based on the idea of gradient recovery estimators. Furthermore, a combination of error estimation and a mesh perfection by the so-called gradient refinement method is exhibited.<br />For the simulation of electromigration a combination of mesh refinement and a retrogressive coarsening (coarsement) has been developed.<br />The third area of application deals with full band Monte Carlo simulations and the readaptation of static k-space meshes as pre-processing step. Complex band structures of semiconductor materials require a general concept of k-space tessellation which is flexible enough to treat different materials. The idea behind this strategy is illustrated on the band structure of silicon.<br />