Dimers on a slab : theory and simulations

Abstract

Discrete random surfaces have become a central object in the field of probability theory,especially statistical mechanics. One of the most famous models is the planar dimer model. Kasteleyn theory developed in the 1960s allows this model to be solved exactly. Except for some groundbreaking discoveries in recent years not much is known about extensions of this model beyond the realm of planarity as Kasteleyn theory is no longer applicable in this case. Hence, in this thesis we study a dimer model on a slab, a graph composed of two copies of the square lattice of size n, where each vertex is connected to its copy by a vertical edge. Our interest lies in studying phase transitions and the critical behaviour of this model. We first introduce the planar dimer model including Kasteleyn theory as well as the BKT phase transition. Then we define the dimer model on a slab and establish why this model no longer suits the setup of Kasteleyn theory. We perform a simulation using Markov chains, for which the relevant theory will be provided, to give computational evidence for our conjecture that there exists a delocalized phase where loops are long, andt he variance of the height function diverges as n → ∞. Additionally, we prove the existence of a localized phase where loops are short, and the variance of the height function remains bounded. Lastly, we introduce and prove some results on the diameter of the state space of dimer configurations.

Diskrete Zufallsflächen sind zu einem zentralen Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere der statistischen Mechanik, geworden. Eines der bekanntesten Modelle ist das planare Dimer Modell. Mit der in den 1960er Jahren entwickelten Kasteleyn Theorie kann dieses Modell genau gelöst werden. Abgesehen von einigen bahnbrechenden Entdeckungen in den letzten Jahren ist nicht viel über Erweiterungen dieses Modells über den Bereich der Planarität hinaus bekannt, da die Kasteleyn Theorie in diesem Fall nicht mehr anwendbar ist. Deshalb untersuchen wir in dieser Arbeit ein Dimer Modell auf einem slab, einem Graphen, der aus zwei Kopien eines quadratischen Gitters der Größe n besteht, wobei jeder Knoten mit seiner Kopie durch eine vertikale Kante verbunden ist.Wir sind daran interessiert, Phasenübergänge und das kritische Verhalten dieses Modells zu untersuchen. Wir führen zunächst das planare Dimer Modell einschließlich der KasteleynTheorie sowie den BKT-Phasenübergang ein. Dann definieren wir das Dimer Modell auf einem slab und stellen fest, warum dieses nicht mehr in den Rahmen der Kasteleyn Theorie passt. Wir führen eine Simulation unter Verwendung von Markovketten durch, für welche entsprechende Theorie bereitgestellt wird, um einen heuristischen Nachweis für die Vermutung einer delokalisierten Phase, in welcher Schleifen lang sind und die Varianz der heightfunction für n → ∞ divergiert, zu liefern. Darüber hinaus führen wir einen Beweis für die Existenz einer lokalisierten Phase, in der Schleifen kurz sind und die Varianz der heightfunction begrenzt bleibt. Abschließend führen wir einige Ergebnisse zum Durchmesser des Zustandsraums von Dimerkonfigurationen ein und beweisen sie.