The Cramer-Lundberg model under proportional and XL reinsurance

Abstract

In dieser Arbeit betrachten wir ein Versicherungsunternehmen mit einem Anfangskapital x und einer Prämie, die nach dem Erwartungswertprinzip berechnet wird. Für den Überschuss wird das Cramér-Lundberg-Modell verwendet. Dieses Unternehmen hat die Möglichkeit, einen Rückversicherungsvertrag abzuschließen, der eine Kombination aus proportionaler und XL-Rückversicherung darstellt. Der proportionale Faktor ist fix gewählt, während der Selbstbehalt der XL-Rückversicherung dynamisch über die Zeit gewählt werden kann.Die Überlebenswahrscheinlichkeit über einen unendlichen Zeitraum, definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass der Überschussprozess über einen unendlichen Zeithorizont nicht negativ bleibt, ist ein grundlegendes Maß für die Solvenz eines Versicherers. Daraus ergibt sich die Frage: Gibt es eine optimale Rückversicherungsstrategie, die die Überlebenswahrschein\-lichkeit maximiert, d.h. die Ruinwahrscheinlichkeit minimiert? Diese Arbeit beschäftigt sich mit dieser Fragestellung.Das Problem, die optimale Rückversicherung zu finden, wird mithilfe der Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung beschrieben. Anschließend beweisen wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung dieses Problems. Darüber hinaus stellen wir Beispiele für Lösungen vor, die durch Computersimulationen für den Fall exponentiell verteilter Schadenhöhen erhalten wurden. Zusätzlich zeigen wir, wie Variationen anderer Parameter die optimale Rückversicherungsstrategie beeinflussen.

In this thesis, we consider an insurance company with initial capital x and premium calculated by expected value principle. For the risk model, the Cramér-Lundberg model is used. This company has the possibility to buy a reinsurance contract, which is a combination of proportional and excess-loss reinsurance. The proportional factor is fixed and retention level of the XL reinsurance can be chosen dynamically in time.The infinite-time survival probability, defined as the likelihood that the surplus process remains non-negative over an infinite time horizon, is a fundamental measure of an insurer’s solvency. This leads to the question: is there an optimal reinsurance strategy that maximizes the survival probability, i.e., minimizes the ruin probability? This thesis deals with this question.The problem of finding the optimal reinsurance is defined using the Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Then we prove the existence and uniqueness of the solution to this problem. Furthermore, we provide examples of solutions obtained through computer simulations for the case of exponentially distributed claim sizes. Additionally, we illustrate how variations in other parameters affect the optimal reinsurance strategy.