Reduced Order Models for Liquid-Filled Containers

Abstract

Das Schwappen von Flüssigkeiten in komplex geformten und/oder flexiblen Behältern wird häufig mit numerischen Methoden wie der Finite-Elemente-Methode (FEM) modelliert, die sehr rechenintensiv sein kann. Modelle reduzierter Ordnung approximieren das Verhalten und reduzieren die Freiheitsgrade des Systems und machen Simulationen schneller und effizienter, insbesondere für Echtzeitanwendungen wie eine modellbasierte Regelung. Unter der Annahme eines nicht viskosen und inkompressiblen Fluids und geringer Schwappwellenamplituden kann ein Modell reduzierter Ordnung (ROM) einer linearen FEM-Formulierung mittels der Projektion in eine modale Basis ermittelt werden. In dieser Arbeit wird dieses Konzept angewandt, um ROMs zu erhalten, wobei sowohl starre Behälter auf der Grundlage einer Ein-Feld-FEM-Formulierung des Fluids als auch flexible Behälter auf der Grundlage einer vollständig gekoppelten FEM-Formulierung für die Fluid-Festkörper-Wechselwirkung untersucht werden. Die betrachtete FEM-Formulierung für ein inkompressibles Fluid hat eine singuläre Massenmatrix, was zu unendlichen Eigenwerten des Systems führt, die die starre (gefrorene) Masse des Fluids darstellen, die nicht zum Schwappen beiträgt. Unter Berücksichtigung starrer Behälter werden ROMs für allgemein geformte dreidimensionale Behälter, die einer allgemeinen Bewegung unterliegen, ermittelt und mit dem vollständigen FEM-Modellverglichen. Das ROM für starre Behälter zeigt eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit dem vollständigen Modell, wenn die gefrorene Masse des Fluids berücksichtigt wird. Die entkoppelte Struktur des ROM führt zu Übertragungsfunktionen zweiter Ordnung für die modalen Koordinaten im Verhältnis zu den Bewegungsfreiheitsgraden des Behälters und bietet eine effiziente Beschreibung der Dynamik. Die Dynamik von Behältern unterschiedlicher Komplexität wird untersucht, indem die modalen Beiträge der Flüssigkeitsreaktionskräfte zu den Drehmomenten an der Behälterwand analysiert werden. Für komplexe Behälterformen wird zur Darstellung des dynamischen Verhaltens der Schwappmoden ein äquivalentes mechanisches Modell bestehend aus Masse-Feder-Schraube als Erweiterung des herkömmlichen Masse-Feder Modells vorgestellt. Unter Berücksichtigung flexibler Behälter wird ein einfaches zweidimensionales gekoppeltes FEM-Modell für zwei Anregungsfälle an der Flüssigkeits- und an der Festkörperoberfläche untersucht. Ein ROM des gekoppelten FEM-Modells wird mit dem vollständigen Modell für beide Erregungsfälle verglichen,wobei ein signifikanter Beitrag höherfrequenter Moden zur Gesamtlösung beobachtet wird. Es wird ein Workaround diskutiert, um eine gute Annäherung über das ROM zu erhalten, was einen Leitfaden für zukünftige Forschung über eine realistische Anwendung des gekoppelten Falles darstellt.

The sloshing of the free surface of liquids in complex-shaped and/or flexible containers is often modelled using numerical methods such as the Finite Element Method (FEM), which can be computationally expensive. Reduced order models reduce the degrees of freedom by approximating the behaviour of the system, making simulations faster and more efficient, especially for real-time applications like model-based control. Assuming an inviscid and incompressible fluid and low sloshing wave amplitudes, a reduced-order model (ROM) of a linear FEM formulation can be obtained using the modal expansion theorem. In this thesis, this concept is applied to obtain ROMs, considering both rigid containers on the basis of a single-field FEM formulation of the fluid, and flexible containers on the basis of a fully coupled FEM formulation for the fluid-solid interaction. The considered FEM formulation for an incompressible fluid has a singular mass matrix, leading to infinite eigenvalues of the system representing the rigid (frozen) mass of the fluid, which does not contribute to sloshing. Considering rigid containers, ROMs for generally shaped three-dimensional containers undergoing a general motion are obtained, and compared to the full FEM model. The ROM of rigid containers shows excellent agreement with the full model when accounting for the frozen mass of the fluid. The decoupled structure of the ROM results in second-order transfer functions for the modal coordinates in relation to the movement degrees of freedom of the container, providing an efficient description of the dynamics. The dynamics of containers of different complexity are studied by analyzing the modal contributions of the fluid reaction forces on torques on the container wall. For complex container shapes, to represent the dynamic behaviour of the sloshing modes, a mass-spring-screw equivalent mechanical model is presented as an extension to the conventional mass-spring equivalent mechanical model. Considering flexible containers, a simple two-dimensional coupled FEM model is studied, for two excitation cases on the fluid boundary and on the solid boundary. A ROM of the coupled FEM model is compared to the full model for both excitation cases, where a significant contribution of higher-frequency modes to the total solution is observed. A workaround to obtain a good approximation via the ROM is discussed, providing a guideline for future research on a realistic application of the coupled case.