A Hybrid Discontinuous Galerkin Method with Impedance Traces for the Helmholtz Equation

Abstract

Die Helmholtz-Gleichung mit absorbierenden Randbedingungen war Gegenstand zahlreicher Forschungen. Sie beschreibt die zeitharmonische Wellenausbreitung. Aufgrund desoszillatorischen Verhaltens der Lösungen der Helmholtz-Gleichung ist die Entwicklung vonSimulationsmethoden eine Herausforderung. Wird die finite element method (FEM) ange-wendet, so ist eine feine Netzgröße erforderlich, was bei vielen Wellenlängen im Rechengebiet zu großen Systemen linearer Gleichungen führt, die gelöst werden müssen. DirekteLöser können eingesetzt werden, um diese Probleme zu lösen, aber der Speicherbedarf solcher Löser ist zu hoch und steigt zu schnell mit der Netzgröße. Vorkonditionierte iterative Löser bieten eine Antwort auf diese Probleme, und für coercive (elliptische) Probleme wurden solche mit großem Erfolg entwickelt und angewendet, z. B. Mehrgitterverfahren. Lokale Glättungsschritte in Kombination mit direkten Grobgitterkorrekturen führen zu sehr zufriedenstellenden Ergebnissen. Leider ist die Helmholtz-Gleichung nicht coerciv und zeigt ein nicht-lokales Verhalten; solche iterativen Löser können daher nicht angewendet werden.Die Idee, Gebietszerlegungsvorkonditionierer zusammen mit einem minimal-residualen iterativen Löser zu verwenden, wurde entwickelt. Die Helmholtz-Gleichung muss auf Teilgebieten gelöst werden, und daher müssen Vorkonditionierer, die auf Gebietszerlegung basieren,absolut stabil sein, im Sinne davon, dass die lokalen Vorkonditionierungsprobleme stets eindeutig lösbar sind. Es wurde gezeigt, dass discontinuous Galerkin (DG)-Methoden eine lokale Stabilitätseigenschaft aufweisen, die zu stabil lösbaren Problemen auf Teilgebiet enführt. Durch die Einführung von DG-Methoden wird das ohnehin schon große System linearer Gleichungen erheblich vergrößert, da die koppelnden Unbekannten dupliziert werden.Die hybrid discontinuous Galerkin (HDG)-Methoden mit statischen Kondensationsfähigkeiten wurden entwickelt, um dieses Problem zu entschärfen. Alle Volumenunbekannten werden auf Skelettunbekannte reduziert, wodurch ein System linearer Gleichungen nurfür diese Skelettunbekannten entsteht. Die Anzahl der Skelettunbekannten ist für kleine Polynomgrade größer als die Anzahl der Unbekannten für konforme Räume, aber HDG-Methoden weisen weniger Unbekannte auf als DG-Methoden. Die Eigenschaft, statische Kondensation anwenden zu können, ist für die Helmholtz-Gleichung höchst nicht-trivial,kann jedoch direkt aus einer lokalen Stabilitätseigenschaft der HDG-Methoden abgeleitet werden. Nicht alle HDG-Methoden sind für Gebietszerlegungsvorkonditionierer im Kontextder Helmholtz-Gleichung geeignet. Die Übergangsbedingungen zwischen Teilgebieten sind entscheidend, damit sie Impedanzspuren repräsentieren. Der Schwerpunkt dieser Dissertation liegt auf einer HDG-Methode, die all diese günstigen Eigenschaften aufweist. Sie ist lokal absolut stabil, weist optimale Konvergenzraten in Bezug auf die Netzgröße auf, und iterative Löser mit Vorkonditionierern basierend auf Gebietszerlegungskonzepten können angewendet werden. In dieser Arbeit wird die Stabilitäts- und Fehleranalyse der HDG-Methode durchgeführt. Darüber hinaus werden die günstigen Eigenschaften der Methode im Hinblick auf iterative Löser durch großskalige numerische Simulationen hervorgehoben.

The Helmholtz equation with absorbing boundary conditions has been the focus of much research. It describes a time-harmonic wave propagation. Due to the oscillatory behaviour of solutions for the Helmholtz equation, developing simulation methods is challenging. If the FEM is applied, then a fine mesh size is required leading for many wavelengths in the computational domain to large systems of linear equations, which need to be solved. Directsolver can be applied to solve these problems, but the memory consumption of such solvers is too demanding and increases too quickly with respect to the mesh size. Preconditionediterative solvers are an answer to these issues, and for coercive (elliptic) problems, such have been developed and applied to great success, e.g. multi-grid. Local smoothing steps,in combination with direct coarse grid corrections, lead to very satisfactory results. Sadly,the Helmholtz equation is not coercive and exhibits a non-local behaviour; these iterativesolvers can not be applied. The idea of using domain decomposition preconditioners with some minimal residual iterative solver has been devised. The Helmholtz equation needs tobe solved on subdomains and therefore preconditioners based upon domain decomposition need to be absolutely stable in the sense that the local preconditioning problems are always uniquely solvable. It has been shown that DG methods exhibit a local stability property,leading to stably solvable problems on subdomains. By introducing DG methods, the already large system of linear equations is substantially increased due to the duplication of coupling unknowns. The HDG methods with static condensation capabilities have been developed to counteract this issue. All volume unknowns are condensed to skeleton unknowns, leading to a system of linear equations only for these skeleton unknowns. The number of skeleton unknowns is for small polynomial degrees larger than the number of unknowns for conforming spaces, but HDG methods exhibit less unknowns as DG methods. The property of being able to apply static condensation is highly non-trivial for the Helmholtz equation, but can be directly derived from a local stability property of HDG methods. Not all HDG methods are suitable for domain decomposition preconditions in the context of the Helmholtz equation. The transmission conditions between subdomains are crucial such that they represent impedance traces. The focus of this dissertation is exactly on a HDG method exhibiting all of these favourable properties. It is locally absolutely stable, exhibits optimal convergence rates with respect to the mesh size, and iterativesolvers with preconditioners based on domain decomposition concepts can be applied. In this work, the rigorous stability and error analysis of the HDG method is carried out,which is a novelty. Additionally, the favourable properties concerning iterative solvers ofthe method are highlighted by large-scale numerical simulations.