High Dimensional Quantum Computing: Qudit Circuit Compression for the Quantum Fourier Transform

Abstract

Die größte Herausforderung für gatterbasierte Quantencomputer sind verschränkende Gatter, da man dafür eine präzise Kontrolle über zwei oder mehr Quantensysteme benötigt. Quantencomputer die auf zwei-dimensionalen Quantensystemen basieren, tendieren dazu, nur einen Bruchteil des verfügbaren Hilbertraumes zu nutzen, wohingegen Qudit basierte Quantencomputer mehrere Freiheitsgrade nützen. Durch die Einbettung der Qubits in den Qudits reduziert sich die Anzahl an Zwei-Qubitgatter, da sie entweder zu lokale Gatter transformiert werden oder zu eingebettete Zwei-Qubitgatter, welche anschließend zu Zwei-Quditgatter komprimiert werden können mittels Qudit-Gatterkomprimierung. In dieser Arbeit wird die Idee der Qudit-Gatterkomprimierung auf den Simons Algorithmus für vier Qubits und auf die Quantenfouriertransformation (QFT) angewendet. Es wird gezeigt, dass der Nächste-Nachbar-Schnitt für die QFT, welcher benachbarte Qubits zu Qudits gruppiert, der bestmögliche Schnitt ist, da man dabei, mehrere verschränkende Gatter immer zu einem einzigen Zwei-Quditgatter pro Quditpaar, komprimieren kann. Mittels Graphentheorie, wobei die Qudits die Knoten und die Zwei-Quditgatter die Kanten darstellen, ist es möglich die QFT im Nächste-Nachbar-Schnitt immer als vollständig verbundenen Graphen darzustellen. Dadurch ist es möglich, eine Formel für die Anzahl an benötigten Zwei-Quditgatter, als Funktion der Quditdimension und der Anzahl an Eingangsqubits, herzuleiten.

The bottleneck of gate based quantum computation are entangling gates, which require precise control of the interaction between two or more quantum systems. Qubit based quantum computers are based on two-dimensional quantum systems and tend to use only a fraction of the available Hilbert space, while qudit based quantum computers harness unused degrees of freedom. The qudit embedding reduces the number of two-qubit gates by transforming them into either local qudit gates or into embedded two-qubit gates, which can subsequently be compressed into two-qudit gates using qudit circuit compression. In this thesis, the idea of qudit circuit compression is applied to the 4-qubit Simon's circuit and to the Quantum Fourier transform (QFT). By compressing multiple embedded two-qubit controlled rotation gates to two-qudit gates, it is possible to reduce the number of entangling gates significantly. One can show that the next-neighbour cut, that embeds adjacent qubits into qudits, is the best cut for the QFT, because it is always possible to reduce the number of two-qudit gates to one per qudit pair. Using a graph approach, where the nodes are qudits and the edges are (high-dimensional) controlled rotation gates, it is possible to deduce that the QFT resembles a fully-connected graph in the next-neighbour cut. Through this method it is possible to derive a formula for the number of required two-qudit gates as a function of the qudit dimension and the number of input qubits.