Alternative Herleitung der Übertragungsbeziehungen der Stabtheorie I. und II. Ordnung

Abstract

Die lineare Stabstatik war über lange Zeit das dominante Werkzeug zur Erfassung des Lastabtragverhaltens von Bauteilen. Trotz der inzwischen etablierten Finite-Elemente-Methode (FEM) bleibt sie auch heute ein unverzichtbarer Bestandteil der Tragwerksplanung – etwa in der Entwurfs- und Detailplanung von Stabwerken sowie zur Plausibilisierung der Ergebnisse von FE-Berechnungen.Daher sind fundierte Kenntnisse der Stabtheorie nach wie vor essenziell für Ingenieurinnen und Ingenieure.In der vorliegenden Arbeit wird ein alternatives Verfahren zur Herleitung der Übertragungsbeziehungen der Stabtheorie I. und II. Ordnung vorgestellt. Es basiert auf der Potenzreihenentwicklung der gesuchten Funktionen der Biegeordinate w(x), des Querschnittsdrehwinkels φ(x), des Biegemoments M(x) und der Querkraft V(x) mit unbekannten Potenzreihenkoeffizienten. Die linearen Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten der Quer-, Längs- und Torsionsanteile der Stabtheorie I. und II. Ordnung werden somit als Polynomfunktionen dargestellt, wobei die Potenzreihenkoeffizienten die gesuchten Unbekannten sind. Durch Auswertung dieser Polynomfunktionen sowie der entsprechenden gleichförmigen Belastungsfunktionen an einer definierten Anzahl an Stellen entlang des Stabes wird ein Gleichungssystem gewonnen. Dieses Gleichungssystem lässt sich nach Eliminierung der den Randbedingungen zuzuordnenden Potenzreihenkoeffizienten eindeutig lösen und die verbleibenden Potenzreihenkoeffizienten dadurch bestimmen. Durch Einsetzen dieser Koeffizienten in die Potenzreihendarstellungen von w(x),φ(x), M(x) und V(x) werden diese Funktionen korrekt bestimmt.Die heute weitverbreite Mathematiksoftware (wie z.B. das Programm Mathematica) ist in der Lage, approximierte Lösungen für Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme zu errechnen. Im Gegensatz dazu stellt das vorliegende Verfahren die analytischen und semi-analytischen Lösungen der betrachteten Differentialgleichungssysteme in einer strukturierten Form zur Programmierung und zur Anwendung in verschiedenen mechanischen und physikalischen Bereichen bereit. Es ist somit nicht an ein konkretes Softwarepaket gebunden. Die im Rahmen dieser Arbeit verwendete Programmierung der alternativen Herleitung der Übertragungsbeziehungen der Stabtheorie I. und II. Ordnung im Programm Mathematica ([5]) wird im Anhang bereit gestellt. Zuerst wird die bekannte Herleitung der Übertragungsbeziehungen der linearen Stabtheorie I. Ordnung für Stäbe mit konstanter Biegesteifigkeit E I= konst. durch Integration der grundlegenden Differentialgleichungen demonstriert sowie Lastglieder für elementare Einwirkungen in Tabellenform angegeben. Anschließend wird die alternative Herleitung getrennt für Längs-,Torsions- und Queranteile durchgeführt. Die Übertragungsbeziehungen der Queranteile werden dabei zwei Mal hergeleitet. Sowohl ausgehend von einem Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung als auch ausgehend von einem Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Damit wird die Gültigkeit und Flexibilität des Berechnungsverfahrens gezeigt. Anschließend wird die Anwendbarkeit des Berechnungsverfahrens nach Stabtheorie I. Ordnung auf Stäbe mit veränderlicher Biegesteifigkeit EI(x) anhand von drei numerischen Beispielen gezeigt. Hierfür werden Vergleichsrechungen mit dem Stabstatik-Programm IQ100 durchgeführt.Der Übergang von analytischen zu numerischen Lösungen ist dabei notwendig, da die analytischenAusdrücke im Fall von Stäben mit veränderlicher Biegesteifigkeit EI(x) aufgrund ihres Umfanges nicht mehr sinnvoll dargestellt werden können. Abschließend wird die Erweiterbarkeit des Verfahrens für Berechnungen nach Stabtheorie II. Ordnung ebenfalls anhand von drei numerischen Beispielen gezeigt, wobei wieder Vergleichsrechungen mit dem Stabstatik-Programm IQ100 durchgeführt werden. Auch bei diesen Beispielen ist dabei der Übergang von analytischen zu numerischen Lösungen notwendig.Das vorgestellte Berechnungsverfahren erlaubt die effiziente Berechnung der Schnitt- und Verschiebungsgrößen von an den Stabenden beliebig gelagerten geraden Stäben mit konstanter Biegesteifigkeit E I= konst. sowie von schubstarren Stäben (GA(x) = ∞) mit veränderlicher, nachder Stablängskoordinate x differenzierbarer Funktion der Biegesteifigkeit EI(x). Darüber hinaus kann das Verfahren grundsätzlich ebenso zur Lösung anderer linearer Differentialgleichungssysteme verwendet werden, wie sie etwa in der Dynamik, der Elektrotechnik, der Thermodynamik etc.auftreten.

Linear beam theory has long been a fundamental tool for analyzing the load-bearing behavior ofstructural elements. Despite the widespread use of the finite element method (FEM) it remains an indispensable part of structural design—particularly in the conceptual and detailed planning of beam structures as well as in the validation of FEM results. Accordingly, a solid understanding of classical beam theory remains essential for structural engineers.This thesis presents an alternative derivation of the transfer relationships of first-order and second-order beam theory. The method is based on the power series expansion of the unknown functions: transverse deflection w(x), cross-sectional rotation φ(x), bending moment M(x), and shear force V (x), using undetermined power series coefficients. The linear differential equations with non-constant coefficients governing axial, torsional, and bending behavior in first-order and second-order beam theory are thereby expressed as polynomial functions. By evaluating these polynomial expressions as well as the applied, uniformly distributed load functions at a defined number of discrete points along the beam, a solvable system of equations is established. After excluding the power series coefficients which correspond to the boundary conditions from the system of equations, the remaining unknown power series coefficients can be determined. Thus, the sought functions can thereby be fully constructed.Today’s widely used mathematical software (such as Mathematica) is capable of computing approximate solutions for differential equations and systems of differential equations. In contrast, the present method provides analytical and semi-analytical solutions for the considered systems of differential equations in a structured form for programming and for application in various mechanical and physical fields. It is therefore not tied to any specific software package. The programming in Mathematica ([5]) of the alternative derivation of the transfer relationships of first-order and second-order beam theory used in this work is provided in the appendix.The work begins by revisiting the classical derivation of transmission relations for beams with constant stiffness function E I= const. through integration of the fundamental differential equations. Tabulated load components for elementary load cases are also provided. This is followed by the proposed alternative derivation, applied separately to axial, torsional, and bending components. For bending behavior, the derivation is performed both from a second-order and a first-order differential equation system, thereby demonstrating the robustness of the method.Subsequently, the method’s applicability for first-order beam theory calculations to beams with a variable bending stiffness function E I(x) is illustrated using three numerical examples. The results are validated by comparison with calculations using the beam analysis software IQ100. The transition from analytical to numerical solutions is necessary here, since the analytical expressions in the case of beams with variable bending stiffness function E I(x) can no longer be represented in a meaningful way due to their complexity.Finally, the extensibility of the method for second-order beam theory calculations is alsodemonstrated by means of three numerical examples, with comparative calculations again being carried out using the beam analysis program IQ100. Once more, the transition from analytical to numerical solutions is necessary here.The proposed approach enables efficient calculation of internal forces and displacements in straight beams with arbitrary end supports and constant stiffness function E I= const. as well as in shear-rigid beams (GA(x) = ∞) with an arbitrary but differentiable bending stiffness function E I(x). Beyond beam theory, the method can be applied in principle to other systems of linear differential equations, such as those encountered in dynamics, electrical engineering, thermodynamics, etc.