Analysis of smoothed adaptive finite element methods

Abstract

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) spielen eine zentrale Rolle bei der Modellierung physikalischer Phänomene. Ihre Lösungen weisen häufig lokale Singularitäten auf, die die Genauigkeit numerischer Verfahren einschränken können. Die adaptive Finite-Elemente-Methode (AFEM) bewältigt solche Singularitäten effektiv, indem sie das Netz auf der Grundlage von a posteriori Verfeinerungsindikatoren iterativ verfeinert. Zur Verbesserung der Recheneffizienz werden in der AFEM üblicherweise iterative algebraische Löser eingesetzt, um die diskreten Probleme zu lösen. Die von [Mulita, Giani, Heltai: SIAM J. Sci. Comput. 43, 2021] vorgeschlagene geglättete AFEM (S-AFEM) zielt darauf ab, den Rechenaufwand weiter zu reduzieren. Diskrete Lösungen von hoher Genauigkeit werden dabei nur auf periodisch wiederkehrenden Ebenen der Netzhierarchie berechnet, während auf den Zwischenebenen lediglich eine feste Anzahl von Iterationen eines kostengünstigen Glättungsverfahrens durchgeführt wird. Numerische Experimente in jener Arbeit belegen, dass dieses Vorgehen Netzfolgen liefert, die mit denen der Standard-AFEM vergleichbar sind, jedoch bei deutlich geringerem Rechenaufwand. Diese Arbeit präsentiert die erste Konvergenzanalyse der S-AFEM sowie deren Verallgemeinerungen. Die Analysis umfasst allgemeine lineare elliptische PDEs zweiter Ordnung und setzt lediglich voraus, dass die verwendeten Glättungsmethoden die gelockerte Annahme der gleichmäßigen Stabilität erfüllen. Diese Bedingung wird sowohl von Standardverfahren wie Richardson-, Gauss-Seidel- und CG-Verfahren als auch von fortgeschritteneren Methoden wie vorkonditioniertem CG oder Multigrid erfüllt. Auf periodisch wiederkehrenden Ebenen wird ein gleichmäßig kontraktiver iterativer Löser mit dem Abbruchkriterium aus [Gantner, Haberl, Praetorius, Schimanko: Math. Comp. 90, 2021] verwendet. Unter diesen Annahmen wird gezeigt, dass S-AFEM eine parameterunabhängige volle R-lineare Konvergenz gewährleistet, d.h. Kontraktion eines geeignet definierten Quasi-Fehlers in jedem Schritt des Algorithmus für beliebige Eingabeparameter. Darüber hinaus wird bewiesen, dass die Methode bei hinreichend kleinen Adaptivitätsparametern optimale Konvergenzraten in Bezug auf die kumulativen Rechenkosten und damit auch in Bezug auf die Rechenzeit erzielt. Abschließend bestätigen und veranschaulichen numerische Experimente die theoretischen Ergebnisse und zeigen die Effizienz der Methode unter Variation verschiedener Glättungsverfahren und Parameter.

Partial differential equations (PDEs) play a central role in modelling physical phenomena. Their solutions often exhibit local singularities that may spoil the performance and accuracy of numerical methods. The adaptive finite element method (AFEM) handles such singularities effectively by refining the mesh iteratively according to a posteriori refinement indicators. To improve the practical performance, AFEM usually includes iterative algebraic solvers for the discrete systems. The smoothed AFEM (S-AFEM) proposed by [Mulita, Giani, Heltai: SIAM J. Sci. Comput. 43, 2021] aims to additionally reduce the computational costs. Accurate discrete solutions are computed only on periodically occurring levels of the mesh hierarchy. On the intermediate levels, a fixed number of steps of a computationally inexpensive smoother are performed. Numerical experiments in that work showed that the method achieves results comparable to standard AFEM while significantly reducing the computational costs. This thesis presents the first convergence analysis of S-AFEM and generalizations thereof. The analysis covers general second-order linear elliptic PDEs and only requires the smoothers to satisfy the relaxed assumption of uniform stability. This property is satisfied by standard smoothers such as Richardson, Gauss--Seidel, and conjugate gradient (CG) iterations, as well as by more advanced methods like preconditioned CG and multigrid. At periodically occurring levels, the analysis employs a uniformly contractive iterative solver with the stopping criterion from [Gantner, Haberl, Praetorius, Schimanko: Math. Comp. 90, 2021]. Under these assumptions, S-AFEM guarantees parameter-robust full R-linear convergence, i.e., contraction of a suitably defined quasi-error in each step of the algorithm for any choice of input parameters. Moreover, for sufficiently small adaptivity parameters, the method is proven to attain optimal convergence rates with respect to the cumulative computational costs, and thus also with respect to computation time. Finally, numerical experiments confirm the theoretical results and evaluate the performance of the method for various smoothers and parameters.