Tiefe Gaußsche Prozesse als zufällige Diffusionskoeffizienten

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit tiefen gaußschen Prozessen als zufällige Diffusionskoeffizienten auf beschränkten Gebieten in 2D. Diese Prozesse stellen eine Erweiterung von gaußschen Prozessen dar. Wir verwenden die Kovarianzfunktion Konstruktion aus [Dunlop, Girolami, Stuart, Teckentrup; J. Mach. Learn. Res. 19 (2018)] und erweitern die gegebene Definition. Die Idee besteht darin,Kovarianzfunktionen zu konstruieren, die selber von einem gaußschen Prozess abhängen. Es werden Monte-Carlo- und Finite-Elemente-Methoden verwendet, um Zielfunktionale einer Lösung zu approximieren. Die Konvergenz der MC-Methode ist für gaußsche Prozesse gut untersucht, z.B. in [Teckentrup, Scheichl, Giles, Ullmann; Numer. Math. 125 (2013)]. Wir zeigen, dass die schwache Formulierung der Diffusionsgleichung pfadweise wohldefiniert ist und hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der MC-Fehlerbeiträge für tiefe gaußsche Prozesse werden hergeleitet.Schließlich werden numerische Experimente für MC und FEM durchgeführt. Die exakte Lösung ist nicht bekannt, und somit werden Referenzlösungen verwendet, um die Fehlerbeiträge zu berechnen. Diese Experimente bestätigen die theoretischen Resultate. Ebenso wird eine Quasi-Monte-Carlo-Methode experimentell getestet und mit den den MC-Ergebnissen verglichen.

This work deals with deep Gaussian processes as random diffusion coefficients on bounded domains in 2D. These processes represent an extension of Gaussian processes. We use the covariance function construction from [Dunlop, Girolami, Stuart, Teckentrup; J. Mach. Learn. Res. 19:54 (2018)] and extend the given definition. The idea is to construct covariance functions that themselves depend on a Gaussian process. Monte Carlo and finite element methods are used to approximate target functionals of a solution. The convergence of the MC method has been well studied for Gaussian processes, e.g., in [Teckentrup, Scheichl, Giles, Ullmann; Numer. Math. 125 (2013)]. We show that the weak formulation of the diffusion equation is pathwise well-defined and derive sufficient conditions for the convergence of the MC error contributions for deep Gaussian processes. Finally, numerical experiments are performed for MC and FEM. The exact solution is not known, so reference solutions are used to calculate the error contributions. These experiments confirm the theoretical results. A quasi-Monte Carlo method is also being tested experimentally andcompared with the MC results.