Ein Lévy-getriebener Ornstein-Uhlenbeck Ansatz zur Modellierung von Einlagen ohne feste Laufzeit

Abstract

In den vergangenen Jahren hat sich im Bankwesen das Replikate-Modell zur Einschätzung des Verhaltens von Einlagen ohne feste Laufzeit etabliert. Diese Diplomarbeit behandelt einen alternativen Zugang, in dessen Mittelpunkt ein dreidimensionaler Lévy-getriebener Ornstein-Uhlenbeck Prozess, der in [MRS23] vorgeschlagen wurde, steht. Die Verwendung dieses Prozesses in Form der modifizierten Langevin-Gleichung erfordert eine gründliche mathematische Aufarbeitung und Untersuchunng.Es stellt sich heraus, dass die stochastische Di!erentialgleichung unter bestimmten Voraussetzungen eine eindeutige Lösung mit stationärer Verteilung besitzt. Es wird gezeigt, dass die Existenz der stationären Verteilung im Fall von Normal-Invers-Gauß Randprozessen gesichert ist. Weiters zeigen wir, dass der Lösungsprozess vereinfacht als vektorautoregressiver Prozess der Ordnung eins dargestellt werden kann.Zur tatsächlichen Implementierung führen wir eine Erweiterung des Zwei-Schritt Verfahrens zur Schätzung der Parameter aus [MRS23] ein, indem bei wiederholter Durchführung sukzessive Dimensionen hinzugefügt werden. In Bezug auf die vorliegenden österreichischen und italienischen Daten kann so die Konvergenz des Optimierungsalgorithmus weitgehend sichergestellt werden. Es ergeben sich somit sowohl innerhalb der rechtlichen Pflichten als auch darüber hinaus Einsatzmöglichkeiten dieses Modells. Insbesondere die direkte Abbildung der zukünftigen Verläufe und die dadurch gewonnene Möglichkeit der Berechnungvon Kennzahlen ist vorteilhaft gegenüber dem üblichen Vorgehen.Abschließend haben wir gezeigt, dass das Modell auch eine Erweiterung auf Varianz-Gamma Randprozesse und größere ganzzahlige Dimensionen zulässt.

In recent years, the replicating portfolio model has become established in the banking sector for estimating the behavior of non-maturing deposits. This thesis presents an alternative approach centered on a three-dimensional Lévy-driven Ornstein-Uhlenbeck process, as proposed in [MRS23]. The use of this process in the form of the modified Langevin equation requires a thorough mathematical analysis and investigation.It turns out that, under certain conditions, the stochastic di!erential equation has a unique solution with a stationary distribution. We show that the existence of the stationary distribution is guaranteed in the case of normal-inverse-Gaussian marginal processes. Furthermore, we show that the solution can be simplified and represented as a first-order vector autoregressive process.For the actual implementation, we introduce an extension of the two-step procedure for parameter estimation from [MRS23], in which dimensions are successively added upon repeated execution. With regard to the available Austrian and Italian data, this largely ensures the convergence of the optimization algorithm. Consequently, this model has applications both within the scope of legal obligations and beyond. In particular, the direct mapping of future trends and the resulting ability to calculate key performance indicators offer advantages over the standard approach.Finally, we have shown that the model also allows for an extension to variance-gamma marginal processes and larger integer dimensions.