Modeling of electromagnetic effects in semiconductor nanostructures

Abstract

Die Quantenevolution der Elektronendichte in einem elektromagnetischen Feld ist für viele Technologien von Bedeutung, darunter die Nanoelektronik, kohärente Einzelelektronenquellen, die Spektroskopie und die Freie-Elektronen-Interferometrie. In einem Magnetfeld ist die Wigner-Gleichung nicht mehr eindeutig, da sie die eichabhängige Darstellung des elektromagnetischen Feldes über die elektrodynamischen Potenziale verwendet. Die Wigner-Stratonovich-Transformation hingegen liefert eine modifizierte Wigner-Funktion, die eichabhängige Freiheitsgrade beseitigt.In dieser Arbeit verwenden wir den Ansatz von Stratonovich, um die Entwicklung eines Elektrons in einem elektromagnetischen Feld zu beschreiben. Zu diesem Zweck leiten wir zwei Formulierungen der eichinvarianten Wigner-Gleichung her: die starke Formulierung unter Verwendung von Pseudodifferentialoperatoren und die schwache Formulierung unter Verwendung von Faltungsoperatoren. Beide Formulierungen stellen unterschiedliche Anforderungen an Regularität und Lokalität, was ihnen unterschiedliche Anwendungsmöglichkeiten eröffnet. Die Wigner-Stratonovich-Funktion übernimmt mehrere Eigenschaften der Wigner-Funktion, wie beispielsweise Zeit- und Raumumkehrsymmetrie, Beschränktheit und Reellwertigkeit. Unterschiede zeigen sich hinsichtlich der Eigenschaften der Impulsverteilung, da Stratonovich-Formalismus den kinetischen Impuls anstelle des kanonischen Impulses verwendet. Folglich ist eine multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung des kinetischen Impulses des Elektrons nicht mehr in jeder Richtung möglich. Die Wigner-Stratonovich-Funktion behält jedoch weiterhin mehrere Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bei, z. B. kann sie zur Berechnung des Mittelwerts einer physikalischen Größe verwendet werden, die vom kinetischen Impuls abhängt.Auf dieser Theorie basierend wird ein Monte-Carlo-Algorithmus zur Simulation der Zeitentwicklung der Elektronendichte in einem linearen elektromagnetischen Feld praktisch umgesetzt. Die Simulationen liefern neue Erkenntnisse über die Quanteneffekte auf die Ladungsverteilung der Elektronen. Der quantenmagnetische Operator in der eichinvarianten Wigner-Gleichung hat einen umverteilenden Effekt, der sowohl bei der Orts- als auch bei der Impulsverteilung beobachtet werden kann, während die Bahn des Mittelpunkts unverändert bleibt. Dies weist auf die Gültigkeit des numerischen Ansatzes hin, da er mit dem Ehrenfest-Theorem übereinstimmt.

The quantum evolution of the electron density in an electromagnetic field is relevant to many technologies, including nanoelectronics, coherent single-electron sources, spectroscopy, and free-electron interferometry. One approach to describe the quantum evolution was introduced by Wigner, who applied a Weyl transform to the density operator, giving rise to a phase space function, which is now known as the Wigner function. In a magnetic field, the Wigner equation is no longer unique, as it uses the gauge-dependent representation of the electromagnetic field via the electrodynamic potentials. However, the Wigner-Stratonovich transform yields a modified Wigner function that removes gauge-related degrees of freedom. In this thesis, we use Stratonovich’s approach to describe the evolution of an electron in an electromagnetic field. For this purpose, we derive two formulations of the gauge-invariant Wigner equation: the strong formulation, using pseudo-differential operators, and the weak formulation, using convolution operators. Both formulations have different regularity and locality requirements, which give them different application possibilities. The Wigner-Stratonovich function inherits several properties from the Wigner function, such as time and space reversal symmetry, boundedness, and real-valuedness. Differences can be found regarding properties of the momentum distribution, because Stratonovich’s formalism uses the kinetic momentum instead of the canonical momentum. Consequently, a joint probability distribution of the electron’s kinetic momentum is no longer possible in every direction. However, the Wigner-Stratonovich function still maintains several properties of a probability density function, e.g., it can be used to evaluate the mean of a physical quantity that depends on the kinetic momentum. Based on this theory, a Monte Carlo algorithm is developed to simulate the time evolution of the electron density in an actual, technological setting of a linear electromagnetic field. Simulations reveal new insights into the quantum effects on the electron’s charge distribution. The quantum magnetic operator in the gauge-invariant Wigner equation has a redistributing effect, which can be observed both for the position and momentum distribution, while the trajectory of the center of mass remains the same. This indicates the validity of the numerical approach as it aligns with the Ehrenfest theorem.