Diese Arbeit beschäftigt sich mit martingaltransportbasierten Ansätzen zur Kalibrierung lokaler Volatilitätsmodelle. Ausgangspunkt ist das folgende Kalibrierungsproblem: Aus den Preisen europäischer Optionen erhält man die risikoneutralen Marginalverteilungen des diskontierten Preisprozesses zu endlich vielen Laufzeiten. Gesucht ist ein Martingal, das diese Verteilungen zu den entsprechenden Zeitpunkten trifft und zusätzlich eine Markov- beziehungsweise Diffusionsstruktur besitzt. Im Unterschied zum klassischen Zugang nach Dupire, der eine Interpolation der beobachteten Optionspreise zu einer vollständigen Preisfläche erfordert, gehen die hier betrachteten Ansätze direkt von den endlich vielen Marginalverteilungen aus und erfüllen die Martingaleigenschaft bereits per Konstruktion.Zunächst wird die Frage behandelt, unter welchen Bedingungen vorgegebene Marginalverteilungen überhaupt mit der Martingaleigenschaft vereinbar sind. Dies führt zur konvexen Ordnung sowie zu den klassischen Existenzresultaten von Strassen, Kellerer und Lowther. Anschließend wird der Markov-funktionale Rahmen entwickelt, in dem der Preisprozess als zeitabhängige Transformation eines Markovschen Hilfsprozesses dargestellt wird. Die Martingalbedingung, die Entwicklung der Verteilung des Hilfsprozesses und die Kalibrierung über eine monotone Quantilabbildung bestimmen dabei gemeinsam die sogenannte Flowfunktion, welche diese Transformation beschreibt.In diesem Rahmen werden drei Konstruktionen betrachtet: die Bass-Konstruktion für eine einzelne Marginalverteilung, ihre Erweiterung auf mehrere Marginalverteilungen nach Conze–Henry-Labordère, die auf eine Fixpunktgleichung führt, sowie der Ansatz von Zhou, bei dem der Hilfsprozess eine lokale Driftfunktion erhält und ein stückweise zeithomogenes lokales Volatilitätsmodell entsteht. Für die Fixpunktgleichung von Conze–Henry-Labordère liefern die Resultate von Acciaio–Marini–Pammer Existenz, Eindeutigkeit und lineare Konvergenz der zugehörigen Fixpunktiteration. Die Konstruktion von Zhou wird durch ein Existenzresultat von Ekström–Hobson–Janson–Tysk für zeithomogene Martingaldiffusionen theoretisch eingeordnet; die Existenz einer Lösung des dort auftretenden gekoppelten Fixpunktproblems bleibt offen.Abschließend werden die Modellstrukturen verglichen, der Übergang von der theoretischen Konstruktion zur praktischen Kalibrierung diskutiert und offene Fragen formuliert, insbesondere zu Existenz, Regularität und Stabilität der Konstruktion von Zhou.
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This thesis studies martingale-transport-based approaches to the calibration of local volatility models. The starting point is the following calibration problem: European option prices provide information about the risk-neutral marginal distributions of the discounted price process at finitely many maturities. The goal is to construct a martingale that matches these distributions at the corresponding times and, in addition, has a Markov or diffusion structure. In contrast to the classical Dupire approach, which requires an interpolation of observed option prices to a full price surface, the approaches considered here start directly from the finitely many marginal distributions and satisfy the martingale property by construction.First, the thesis discusses under which conditions given marginal distributions are compatible with the martingale property. This leads to convex order and to classical existence results by Strassen, Kellerer and Lowther. Afterwards, the Markov-functional framework is introduced. In this framework, the price process is represented as a time-dependent transformation of an auxiliary Markovprocess. The martingale condition, the evolution of the distribution of the auxiliary process and the calibration via a monotone quantile transformation jointly determine the so-called flow function.Within this framework, three constructions are considered: the Bass construction for a single marginal distribution, its extension to several marginal distributions by Conze--Henry-Labordère, which leads to a fixed-point equation, and Zhou's approach, where the auxiliary process is equipped with a local drift function and a piecewise time-homogeneous local volatility model is obtained. For the fixed-point equation of Conze--Henry-Labordère, the results ofAcciaio--Marini--Pammer provide existence, uniqueness and linear convergence of the corresponding fixed-point iteration. Zhou's construction is placed in atheoretical context using an existence result by Ekström--Hobson--Janson--Tysk for time-homogeneous martingale diffusions. However, the existence of a solution to the coupled fixed-point problem appearing in Zhou's construction remains open.Finally, the thesis compares the different model structures, discusses the transition from theoretical constructions to practical calibration and points out open questions, in particular concerning existence, regularity and stabilityof Zhou's construction.
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