On elliptic pseudodifferential operators and their applications in regularity theory on manifolds

Abstract

Das Studium der partiellen Differentialgleichungen befasst sich zu einem Großteil mit der Analyse von sowie Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen über Lösungen partieller Differentialgleichungen, wobei in dieser Arbeit im Wesentlichen Fokus auf die Regularitätstheorie gesetzt wird. Maßgeblich sind hierbei die Regularität der Inhomogenität sowie der Randbedingungen, ferner die Form des zugrundeliegenden Definitionsbereiches. Ein wirkungsvolles Werkzeug in dieser Sparte der Mathematik sind sogenannte Pseudodifferentialoperatoren. Wir erarbeiten diesen Operatoren zugrundeliegende Konzepte wie zum Beispiel die Fouriertheorie, verallgemeinerte Sobolevräume und Fundamentallösungen und wenden uns als Anwendung den Regularitätseigenschaften von Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten zu. Die reichhaltigsten Resultate dieser Arbeit stellen einerseits die Konzepte dar, die zu Darstellung und Verhalten von Lösungen partieller Differentialgleichungen führen. Andererseits werden qualitative Aussagen über die Regularität von elliptischen partiellen Differentialgleichungen im Inneren von Mannigfaltigkeiten getroffen sowie die Abhängigkeit der Glattheit der Lösung von den Randbedingungen aufdem Rand der Mannigfaltigkeit erklärt. Die in dieser Arbeit hergestellten Resultate finden besonders in der Numerik partieller Differentialgleichungen Verwendung, sowie ferner in der Fredholmtheorie.

In the field of partial differential equations one seeks to analyse the existence, uniqueness, and further properties of solutions of partial differential equations, such as regularity. Most crucial for the latter are the regularity of the inhomogeneity, the topological properties of the space on which the equations are defined, and the boundary data. A useful tool when it comes to analysing the regularity of solutions are so-called pseudodifferential operators. We will establish underlying concepts such as Fourier analysis, generalised Sobolev spaces as well as fundamental solutions and will take advantage of the main results in this work in order to obtain regularity results in the field of linear elliptic partial differential equations defined on smooth manifolds. To this end, we analyse regularity in the interior of manifolds as well as the dependence of the solution on the regularity of the boundary data. The obtained results find use in numerical analysis of partial differential equations and also in Fredholm theory.