Analytic approximations of stop-loss premiums

Abstract

Diese Arbeit untersucht analytische Methoden zur Approximation von Stop-Loss-Prämien, die eine wichtige Größe in der Versicherungs- und Rückversicherungsmathematik darstellen. Stop-Loss-Rückversicherung schützt Versicherungsunternehmen vor hohen aggregierten Schäden, weshalb eine möglichst genaue Approximation der Verteilung der Gesamtschäden für die Prämienberechnung von Bedeutung ist. Die Arbeit basiert auf den klassischen individuellen und kollektiven Risikomodellen, sowie auf rekursiven Verfahren wie der Panjer-Rekursion, die die theoretische Grundlage für die durchgeführten Untersuchungen bilden. Das Hauptziel der Arbeit besteht darin, die Genauigkeit und Anwendbarkeit stetiger Verteilungsapproximationen für Stop-Loss-Prämien zu untersuchen. Dabei werden die Normal-, Gamma-, verschobene Gamma-, inverse Gauß- und verschobene inverse Gauß-Approximation betrachtet und für verschiedene Portfolio-Strukturen miteinander verglichen. Die numerischen Ergebnisse zeigen, dass die Qualität der Approximationen von den Eigenschaften des zugrunde liegenden Portfolios abhängt.Darüber hinaus wird eine Korrektur für Portfolios mit einer positiven Wahrscheinlichkeit für keine aggregierten Schäden betrachtet. Diese wurde von Dufresne und Niederhauser (1997) vorgeschlagen und im Anschluss wurde deren Einfluss auf die Approximationsergebnisse untersucht. Zusätzlich wird das Approximationsverfahren von Kornya (1983) rekonstruiert. Abschließend werden weitere Verteilungsansätze, darunter Weibull- und Lognormal-Approximationen, betrachtet und mit den zuvor eingeführten Methoden verglichen.Insgesamt bietet diese Arbeit eine umfassende Untersuchung analytischer Methoden zur Approximation von Stop-Loss-Prämien mit besonderem Fokus auf deren praktische Anwendung. Die Ergebnisse zeigen, wie sich die verschiedenen Approximationen bei unterschiedlichen Portfolio-Eigenschaften verhalten und liefern nützliche Erkenntnisse für Aktuar:innen und Rückversicherer bei der Auswahl einer geeigneten Methode zur Prämienberechnung.

This thesis examines analytical methods for approximating stop-loss premiums, which are an important quantity in insurance and reinsurance. Stop-loss reinsurance protects insurers against large aggregate losses, making an accurate approximation of the aggregate claims distribution relevant for premium calculation. The work is based on classical individual and collective risk models, together with recursive methods such as Panjer’s recursion, which provide the theoretical foundation for the analysis.The main objective is to investigate the accuracy and applicability of continuous distributional approximations for stop-loss premiums. The normal, gamma, translated gamma, inverse Gaussian, and translated inverse Gaussian approximations are considered and compared for several portfolio structures. The numerical results show that their performance depends on the characteristics of the underlying portfolio.The thesis also considers a correction for portfolios with a positive probability of zero aggregate claims, as proposed by Dufresne and Niederhauser (1997), and examines its effect on the approximation results. In addition, Kornya (1983) approximation method is reconstructed. Finally, alternative distributional approaches, including Weibull and lognormal approximations, are considered and compared with the previously introduced methods.Overall, this thesis provides a comprehensive analysis of analytical methods for approximating stop-loss premiums, with a focus on their practical application. The results show how different approximation methods perform under varying portfolio characteristics and provide useful insights for actuaries and reinsurers when choosing an appropriate method for premium calculation.