Mathematical Modeling of the Greenhouse Effect When the Atmosphere Radiates Back

Abstract

Die Modellierung des Klimasystems ist eine etablierte Methode, um Veränderungen der Oberflächentemperatur bestimmten physikalischen Mechanismen zuzuordnen. Energiebilanzmodelle sind vereinfachte mathematische Darstellungen globaler Energieflüsse zur Bestimmung der Oberflächentemperatur der Erde. Motiviert durch die in der herangezogenen Fachliteratur vorgestellten Modelle werden in dieser Arbeit zwei solcher Modelle aus physikalischen Grundprinzipien hergeleitet, mathematisch analysiert und numerisch simuliert. Ein Referenzmodell, in dem die Erde ihre Strahlungsenergie ausschließlich von der Sonne bezieht, wird um eine einschichtige Atmosphäre erweitert, um den Treibhauseffekt abzubilden. Für beide Modelle weisen wir die Wohlgestelltheit nach, analysieren die Gleichgewichtsstabilität, leiten Phasenporträts her und untersuchen qualitative Eigenschaften. Die Modellparameter basieren auf empirischen Daten, Literaturwerten und eigenen Berechnungen. Unter den getroffenen Annahmen führt der eindeutig bestimmte Wert von 76,17 % für die atmosphärische Absorptionsrate zu einer Gleichgewichtstemperatur, die einem vorindustriellen Zielwert von 13,84 °C entspricht. Dies korrigiert das unrealistische Ergebnis von -18,58 °C des Referenzmodells. Durch Parameter- und Anfangswertvariationen simulieren wir verschiedene Szenarien und werten resultierende Relaxationszeiten aus, wobei eine solche Auswertung in der herangezogenen Literatur nicht behandelt wird. Bei 2 K Anfangsabweichung vom Gleichgewicht benötigt das Referenzmodell 5,36 Jahre, um eine 0,1-K-Umgebung zu erreichen, das erweiterte Modell hingegen 5,99 Jahre. Da die Atmosphäre den einzigen strukturellen Unterschied bildet, resultiert diese Verzögerung von 0,63 Jahren direkt aus ihrer Integration. Die Simulationen zeigen, dass die Erweiterung des erwähnten Referenzmodells um eine Atmosphäre das Gleichgewicht durch den Treibhauseffekt anhebt und die Konvergenz zum Gleichgewicht verzögert. Die Herleitung der Modelle aus physikalischen Gesetzen und die Begründung ihrer Konstanten bilden eine solide Basis, um in zukünftigen Arbeiten weitere physikalische Mechanismen in das System zu integrieren.

Modeling the climate system is an established method used to attribute surface temperature changes to specific physical mechanisms. Energy balance models are simplified mathematical representations of global energy flows determining Earth's surface temperature. Motivated by the models presented in the consulted literature, this thesis derives two energy balance models from fundamental physical principles, analyzes them, and simulates them numerically. Starting from a reference energy balance model describing Earth receiving radiative energy solely from the Sun, we add a single-layer atmosphere to represent the greenhouse effect. For both models, we establish well-posedness, analyze equilibrium stability, derive a phase portrait, and investigate qualitative properties. Model parameters receive physically justified values derived from empirical data, literature, and calculations. The atmospheric absorption rate is chosen as 76.17%. Given the prior choices, this unique value matches the model's equilibrium to an assumed pre-industrial target of 13.84 °C, resolving the reference model's unrealistic result of -18.58 °C. By varying parameters and initial conditions, we simulate the models under various scenarios and evaluate their relaxation times, unreported in the consulted literature. Given an initial offset of 2 K from equilibrium, the reference model takes 5.36 years to reach a 0.1 K neighborhood, while the extended model requires 5.99 years. Because the atmosphere is the sole structural difference, this 0.63-year delay follows from its addition. The evaluation shows that extending the model with an atmosphere raises the equilibrium through the greenhouse effect and delays convergence to equilibrium. Deriving each model from physical laws and justifying its constants provides a solid basis for incorporating further physical mechanisms in future work.