Distributional Analysis and Limit Laws for Card Guessing Games

Abstract

Kartenratespiele werden nicht nur rein des Spielens willen oder zum Wohle der Glücksspielindustrie genutzt, sondern auch in zahlreichen Anwendungen aufgrund von mathematischen Resultaten in diesem Feld. Infolgedessen betrachten wir in dieser Arbeit drei verschiedene Kartenratespiele. In jedem dieser Spiele hat die ratende Person die Aufgabe, die Identität der jeweiligen Karte zu erraten, mit dem Ziel, möglichst viele korrekte Tipps zu erreichen. Während im ersten Spiel nur zwei verschiedene Kartentypen betrachtet werden, gehen die restlichen Spiele von einem sortierten Kartendeck aus, welches von oben mit eins beginnend bis zur Zahl n aufsteigend nummeriert ist und anschließend einmal gemischt wird.Dabei wird sowohl die Technik des Bogenmischens (riffle-shuffle) als auch die des "Stapelmischens" (shelf shuffle) verwendet.Abhängig von der Rückmeldung nach jedem Tipp gibt es für jedes Spiel eine nicht zwingend eindeutige, optimale Strategie.Unter der Annahme, dass die ratende Person die gewählte optimale Strategie anwendet, berechnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung jener Zufallsvariable, welche die Anzahl der richtigen Tipps zählt.Dafür verwenden wir sowohl erzeugende Funktionen gepaart mit geeigneten Zerlegungen der auftretenden Zufallsvariablen als auch kombinatorische und geometrische Interpretationen der Kartenratespiele. Gestützt auf diese Ergebnisse leiten wir Grenzverteilungen für verschiedene Wachstumsbereiche her und zeigen, wie die unterschiedlichen Spiele ineinander verwoben sind. Weiters bietet die verwendete Methode die Möglichkeit die Analyse zu erweitern, indem die Anzahl der Kartentypen oder die Anzahl der Mischdurchgänge erhöht wird. Nichtsdestotrotz bleiben in diesem Feld viele Forschungsfragen offen, da bei den erweiterten Kartenratespielen noch keine optimale Strategie gefunden wurde oder diese schwer beschreibbar ist.

Card guessing games are not only used for playing or for the benefit of the gambling industry, but also for various applications due to mathematical results. Thus, we consider three different card guessing games in this thesis. In each of the games a player has to guess the label of each card with the aim of maximizing the number of correct guesses. While, in the first game there are only two types of cards, the remaining games start with an ascendingly sorted deck labeled from one at the top up to n at the bottom that is either one-time riffle or single-shelf shuffled. Depending on the amount of feedback for each game a different optimal strategy, which is not necessarily unique, exists. Under the assumption that the player follows the chosen optimal strategy we perform a distributional analysis for the random variable that counts the number of correct guesses. Therefore, we use a generating function approach in combination with suitable decompositions of the occurring random variables as well as combinatorial and geometric interpretations of the card guessing games. Based on these results we finally arrive at limit laws for different growth regimes and show how these card guessing games relate to each other. Following this approach offers the possibility to extend the analysis by considering more types of cards or by shuffling the decks multiple times. However, due to the fact that the optimal strategy is, if it exists, difficult to describe many open questions remain in this field.