Das Pascal'sche Dreieck und die Stirling-Zahlen 1. und 2. Art

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich überwiegend mit dem Pascal'schen Zahlendreieck und dessen verborgenen Strukturen. Es wird der Frage nachgegangen, welche verschiedenen Muster und bekannten Zahlen sich darin verstecken und auch ein Zusammenhang zur Kombinatorik geschaffen. Ziel dieser Arbeit ist es, sowohl in die Geschichte der Mathematik als auch in die Mathematik dahinter einzudringen, wobei etwaige Strukturen durch Satz, deren Interpretation und Beweis gekennzeichnet sind. Auf die maßgebenden historischen Persönlichkeiten wird zu Beginn des jeweiligen Kapitels Bezug genommen. Im Verlauf dieser Arbeit wird deutlich, dass das Pascal'sche Dreieck, welches Teil der Schulmathematik ist, viele interessante Muster verbirgt, die sich der höheren Mathematik zuordnen lassen. Außerdem wird ersichtlich, dass dessen Bezüge sich über weitere Gebiete als die abzählende Kombinatorik erstrecken. Darunter befinden sich die figurierten Zahlen, die Fibonacci-Zahlen, das Sierpinski-Dreieck, der Zusammenhang zum Binärsystem, der goldene Schnitt, die Zahl Pi und viele weitere. Aufgrund der Dreiecksstruktur der Pascal'schen Dreiecks wird im letzten Kapitel auf die Stirling-Zahlen erster und zweiter Art eingegangen, da auch diese eng mit der Fakultät und den Binomialkoeffizienten zusammenhängen und sich ebenfalls in dreieckiger Form anordnen lassen.

This thesis is primarily about Pascal's arithmetic triangle and it's hidden structures. It deals with the question of different patterns and defined numbers hidden in it and also creates a connection to combinatorical mathematics. The aim of this work is to provide insight into the history of mathematics as well as the mathemathical subject behind it, whereas any binomial identity is characterised by a sentence, interpretation and it's proof. The main historical personage will be introduced in the beginning of the particular chapter. While reading this thesis, it can be seen, that although Pascal's triangle nowadays is part of elementary school mathematics, many interesting hidden patterns can be assigned to higher mathematics. Moreover it is apparent, that it's connections extend to more areas than the enumerative combinatorics, such as the figurate numbers, the Fibonacci numbers, the Sierpinski triangle, it's relation to the binary system, the golden section, the number pi and many more. Due to the triangular structure the last chapter discusses the Stirling numbers of the first and second kind, since these are closely related to the binomial coefficients and can also be arranged in a triangular shape.