Comparative mathematical modelling of groundwater pollution

Abstract

In den unterschiedlichsten naturwissenschaftlichen und wirtschaftlichen Disziplinen spielt die Diffusion eine wichtige Rolle. In der Biologie wird beispielsweise die Reaktionsgleichung dazu benutzt, tierische Musterbildung nachzubauen. Auch in der Wirtschaft wird Diffusion verwendet um den Ankauf und Verkauf von Aktienfonds zu berechnen. Diese Arbeit widmet sich der sogenannten Smoluchowski Gleichung und wurde von einem Benchmark der europäischen Simulationsgemeinschaft inspiriert. Dieser Benchmark befasst sich mit der Thematik der Grundwasserverschmutzung und deren Simulation. Man stelle sich einfach eine Schmutzquelle inmitten eines beliebigen Gewässers vor. Diese Quelle emittiert immerwährend oder auch nur zeitweise Schmutzpartikel welche sich im Folgenden auf dem ganzen Gebiet verteilen. Um dieses Verhalten simulieren zu können benötigt man die zugrunde liegende mathematische Gleichung. In diesem Fall handelt es sich um die Analyse von diffusem Verhalten unter Einfluss von Geschwindigkeitsfeldern. Diverse Ansätze, beginnend bei analytischen Lösungen bis hin zu chaotischen Bewegungssimulationen, werden verwendet um dieses Verhalten abzubilden. Der erste Teil der Arbeit beschäftigt sich ausschließlich mit der Problemanalyse auf einem eindimensionalen Gebiet. Im zweiten Teil wird das Gebiet zu einem zweidimensionalen Raum erweitert. In jeder Dimension werden grundsätzlich drei verschiedene Ansätze verfolgt. Als erstes wird auf dem angegebenen Gebiet und unter unterschiedlichen Voraussetzungen nach einer analytischen Lösung gesucht. Da analytische Lösungen in der Regel nicht einfach aufzufinden sind, konzentriert sich die zweite Herangehensweise auf numerische Lösungen. Diesbezüglich können zwei wichtige Verfahren genannt werden, die finite Differenzen und die finite Elemente Methode. Stochastische Prozesse als auch das Prinzip des Random Walks werden im dritten Teil verwendet um Diffusion zu simulieren. Diese alternativen Methoden beschäftigen sich mit der chaotischen Bewegung kleinster Teile. Im Fokus dieser Arbeit steht der Vergleich dieser verschiedenen Ansätze in Hinblick auf Effizienz, Handhabung und Implementierung. Es werden sowohl Vorzüge als auch Nachteile, Gemeinsamkeiten sowie Unterschiede herausgearbeitet werden. Das Zusammenspiel der einzelnen Parameter und deren Auswirkungen auf die Simulationszeiten und -ergebnisse wird untersucht. Verfahren, die sich für diese Art von Aufgabenstellung weniger eignen, werden in dieser Arbeit ebenfalls angesprochen. Da in der hier betrachteten Problemstellung eine analytische Lösung angegeben werden kann, können die verschiedenen Methoden mit dieser als ultimativer Bestapproximation verglichen werden. Zum Abschluss werden alle verwendeten Methoden und ihre Eigenschaften nochmals Revue passieren und ein Ausblick auf weitere mögliche Ansätze und Methoden gegeben.

The theme of this master thesis was motivated by a benchmark of the Federation of European Simulation Societies, EUROSIM. The Benchmark deals with the problem of groundwater pollution. A two-dimensional domain filled with water may be considered. In the middle of this area a pollution source is located. This source emits solid constantly or at certain points in time. The distribution of this pollution on the regarded domain is analysed. For simulation some mathematical background is summarized. The basic equation for pollution distribution is the diffusion equation. Different kinds of this equation are used. In chemistry as well as in biology the reaction-diffusion equation plays a very important role. Of course there are also physical applications of the diffusion, e.g. the heat equation. However, diffusion is also used to foresee the behaviour of buyers of stocks in the financial market. In this work the focus is on the convection-diffusion equation. Using this equation the distributive behaviour of the pollution influenced by a velocity field is described. Several approaches, ranging from analytical solutions to some chaotic particle movement, are used for realization. In the first part of this thesis the problem definition is restricted to a one-dimensional domain. The second part deals with the already mentioned two-dimensional analysis. In both parts there are three different kinds of simulations used. Analysis always starts with an analytical solution of the equation using certain conditions. In reality it is not always possible to find such analytical solutions. Therefore the second approach covers two commonly used numerical methods, the finite differences and finite element method. Alternative implementations are given using the principle of microscopic particle movements, also known as Brownian motion, as well as the random walk. These processes can be described using stochastic theory including probability theory. An important part of this work is the comparison of these different approaches regarding efficiency, accuracy and implementation. All the disadvantages and advantages will be shown. Also the similarities and differences between them are lined out. The interaction of the different parameters and their influences regarding simulation time and results are examined. This work also includes methods which are not appropriate to simulate diffusion in a useable way. For most of the used conditions an analytical solution can be given. Therefore an exact prototype for the perfect approximation is given and can be used for comparison. In the end all the different used approaches and their properties are summarized. Also an outlook to other possible implementations is given.