Topologie und Messbarkeit : Konvergenzbegriffe in der Maßtheorie

Abstract

Diese Arbeit gibt eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Konvergenzbegriffe der Maßtheorie. Dabei werden im ersten Teil die Konvergenz fast überall, die fast gleichmäßige Konvergenz, die Konvergenz nach Maß bzw. lokal nach Maß und die Konvergenz der p-fach integrierbaren Funktionen untersucht und verglichen. Im zweiten Teil der Arbeit wird die schwache Konvergenz in der möglichst allgemeinen Umgebung topologischer Räume untersucht, an die - im Gegensatz zur meisten Literatur - keine weiteren Anforderungen gestellt werden. Dazu werden zunächst Baire-, Borel- und Radonmaße eingeführt und deren wichtigsten Eigenschaften gezeigt und verglichen. Dies beinhaltet unter anderem die Fortsetzung von additiven regulären Mengenfunktionen zu Radon- bzw. zu tau-additiven Maßen auf der gesamten Borel'schen Sigma-Algebra. Weiters wird gezeigt, in welchem Zusammenhang lineare Funktionale auf dem Raum der stetigen und beschränkten Funktionen mit Baire-, Radon bzw. tau-additiven Maßen stehen. Dazu wird das Daniell-Integral verwendet, das in dieser Arbeit ebenfalls konstruiert wird. Außerdem wird demonstiert, dass durch die Verwendung des Daniell-Integrals der Darstellungssatz von Riesz als Nebenprodukt in sehr kurzer und kompakter Form bewiesen werden kann.

This diploma thesis gives a short summary of the main modes of convergence in measure theory. These include in the first part convergence almost everywhere, almost uniform convergence, convergence in measure and locally in measure and the convergence in Lebesgue-spaces. The second part deals with measures on topological spaces, where the weak convergence of nets of Baire-measures is examined. There is no further assumption about the underlying topological space. To do so, first Baire-, Borel- and Radon measures are introduced and their basic properties are shown and compared. Also, constructing and using the Daniell-Integral, the relationship of linear functionals to these measures is examined.