Lineare IMEX-Integration zweiter Ordnung für die nichtlineare Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung

Abstract

Zahlreiche technische Innovationen basieren auf mikromagnetischen Vorgängen. Ein prominentes Beispiel sind Lese- und Schreibvorgänge auf klassischen Festplatten. Dort werden Bits als Magnetisierungsmuster in granularen ferromagnetischen Bauteilen codiert. Die mikromagnetischen Phänomene, welche diese Dynamiken beschreiben, werden unter Annahme einer homogenen Temperaturverteilung im Medium durch die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung (LLG) modelliert. Analytische Lösungen dieser hochgradig nichtlinearen partiellen Differentialgleichung mit der nichtkonvexen Nebenbedingung konstanter Magnetisierungslänge sind im Allgemeinen nicht bekannt. Deshalb sind die Entwicklung und die Analysis numerischer Methoden zur approximativen Lösung der LLG-Gleichung von großem Interesse. In dieser Arbeit betrachten wir Zeitschrittverfahren, welche auf dem Tangent-Plane-Zugang basieren. Integratoren dieser Art verwenden zur örtlichen Diskretisierung Finite-Element-Räume erster Ordnung und eine Predictor-Corrector-Zeitintegration, um die Nebenbedingung zu erhalten. Die erste explizite Version eines Tangent-Plane-Integrators wurde 2006 vorgeschlagen, und 2008 zu einem unbedingt konvergenten Integrator, welcher den Term höchster Ordnung implizit in der Zeit behandelt, verallgemeinert. Kürzlich wurde in [Alouges et al. (Numer. Math., 128, 2014)] der erste Tangent-Plane-Integrator vorgestellt, welcher formal beinahe zweiter Ordnung exakt in der Zeit ist. Für die verbesserte Konvergenzordnung müssen dort auch Terme niedrigerer Ordnung implizit in der Zeit integriert werden - darunter fällt insbesondere die Streufeld-Approximation der magnetostatischen Maxwell-Gleichungen, deren Berechnung mit hohem Rechenaufwand verbunden ist. Aufgrund der Nichtlokalität des Streufelds ist die zugehörige Finite-Element-Systemmatrix voll besetzt. In der Praxis wird diese Matrix daher nicht assembliert, sondern das lineare Gleichungssystem iterativ gelöst. Wir zeigen in dieser Diplomarbeit, dass nach dem ersten Zeitschritt lineare selbstadjungierte Terme niedrigerer Ordnung durch ein Adams-Bashforth-artiges Zweischrittverfahren explizit in der Zeit integriert werden können. Insbesondere deckt unsere Analysis die Streufeld-Berechnung mittels hybrider FEM-BEM-Methoden ab. Schließlich erhalten wir durch diesen implizit-expliziten (IMEX) Zugang den ersten Tangent-Plane-Integrator, welcher ebenfalls beinahe zweiter Ordnung exakt in der Zeit ist, unbedingt gegen eine schwache Lösung von LLG konvergiert und effizient ist in dem Sinne, dass neben einer Streufeld-Berechnung nur das direkte Lösen eines linearen schwach-besetzten Gleichungssystems pro Zeitschritt nötig ist. Numerische Experimente, ausgeführt mit dem im Zuge dieser Diplomarbeit implementierten LLG-Solver, bestätigen die Ergebnisse unserer Analysis.

Numerous technical innovations are based on micromagnetic processes. A popular example are read/write operations on classical hard disk drives. There, bits are encoded as magnetization patterns in granular ferromagnetic components. The micromagnetic phenomena describing these dynamics are usually modeled by the Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) equation, if we assume a homogeneous temperature distribution in the medium. Analytical solutions to this highly nonlinear partial differential equation with the non-convex constraint of a constant magnetization modulus are in general unknown. Therefore, the development and the analysis of numerical methods for the approximate solution of the LLG equation are of great interest. In this work, we consider time-marching schemes based on the tangent plane approach. These integrators rely on first-order finite element spaces for the spatial discretization and a predictor-corrector time integration to preserve the modulus constraint. The first explicit version of a tangent plane integrator was proposed in 2006 and generalized to an unconditionally convergent integrator, which treats the highest-order term implicitly in time, in 2008. Recently, in [Alouges et al. (Numer. Math., 128, 2014)] the first formally almost second-order in time accurate tangent plane integrator was presented. There, for the improved order of convergence lower-order terms have to be integrated implicitly in time - in particular, this includes the stray field approximation of the magnetostatic Maxwell equations, whose evaluation requires high computational effort. Due to the non-locality of the stray field, the corresponding finite element system-matrix is dense. Therefore, in practice rather than assembling this matrix, the linear system is solved iteratively. In this diploma thesis, we show that after the first time step, by using an Adams-Bashforth-like two-step method, linear self-adjoint terms can be integrated explicitly in time. In particular, our analysis covers the stray field computation by hybrid FEM-BEM methods. Ultimately, by using this implicit-explicit (IMEX) approach we derive the first tangent plane integrator, which is almost second-order accurate in time, converges unconditionally to a weak solution of LLG, and is efficient in the sense that, besides one stray field computation, one only requires the direct solution of one sparse linear system per time step. Numerical experiments, simulated with the LLG solver implemented in the course of this diploma thesis, confirm the results of our analysis.