Die Beulkugel : eine Symbiose von Mechanik und Geometrie

Abstract

Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf einer neuartigen Symbiose von Festkörpermechanik und sphärischer Geometrie, mittels der die Änderung des Anteils der -Nicht- Membran- Energie an der Verzerrungsenergie im Vorbeulbereich elastischer Strukturen quantifiziert und illustriert wird. Der Zenitwinkel eines beliebigen Punktes auf der Oberfläche des Oktanten einer Einheitskugel - der Einfachheit halber als Beulkugel bezeichnet - steht zu diesem Energieverhältnis in Beziehung. Der Azimutwinkel dieses Punkts wird mit Hilfe des sogenannten konsistent linearisierten Eigenwertproblems bestimmt, das mittels der Methode der Finiten Elemente gelöst wird. Sein Wert an der Stabilitätsgrenze hängt von den -Nicht-Membran- Verformungen und der Steifigkeit der Struktur unmittelbar vor dem Stabilitätsverlust ab. Für den Grenzfall des Beulens aus einem reinen Membranspannungszustand degeneriert die durch den Zenit- und den Azimutwinkel der einzelnen Kurvenpunkte definierte Flächenkurve zu einem Punkt, für den beide Kugelkoordinaten denWert Null annehmen. Für alle anderen Spannungszustände nimmt der Azimutwinkel mit der proportional steigenden Belastung zu. Das konsistent linearisierte Eigenwertproblem bildet den Ausgangspunkt für eine Hypothese für den Anteil der -Nicht-Membran- Energie an der Verzerrungsenergie. Dieser Anteil wird durch Einbettung mehrerer Routinen in die Software MSC.MARC auf konventionelle Weise berechnet. Die vorliegende Arbeit gliedert sich in einen theoretischen Teil, in dem das Konzept der Beulkugel vorgestellt wird, und in einen numerischen Teil, in dem ausführlich auf die numerische Implementierung eingegangen wird und numerische Beispiele vorgestellt werden. Durch Interaktion der kommerziellen FE Software MSC.MARC mit der Software MATLAB werden die benötigten Ableitungen der globalen Tangentensteifigkeitsmatrix nach einem dimensionslosen Lastparameter ermittelt. Die Verbesserung der Genauigkeit der Lösung des erwähnten linearen Eigenwertproblems erfolgt auf iterative Weise. Eine weitere Steigerung dieser Genauigkeit resultiert aus der Untersuchung der numerischen Präzision der Ausgabewerte von MSC.MARC. Eine Automatisierung der interagierenden Algorithmen von MSC.MARC wird mit Hilfe der Software PYTHON erreicht. Die umfassende numerische Untersuchung besteht aus mehreren Beispielen. Das erste Beispiel betrifft den von einem reinen Membranspannungszustand ausgehenden Stabilitätsverlust. Das zweite Beispiel bezieht sich auf den von einem reinen Biegespannungszustand ausgehenden Stabilitätsverlust. Die weiteren Beispiele sind durch den von einem allgemeinen Spannungszustand ausgehenden Stabilitätsverlust gekennzeichnet. Die praktische Zielsetzung des dieser Arbeit zugrunde liegenden Forschungsprojekts besteht in der Untersuchung des Einflusses des Anteils der -Nicht-Membran- Energie an der Verzerrungsenergie vor der Stabilitätsgrenze auf das anfängliche Nachbeulverhalten elastischer Strukturen. Diese Untersuchung ist allerdings nicht Gegenstand der vorliegenden Abhandlung.

The basis of this work is a novel symbiosis of mechanics of solids and spherical geometry to quantify and illustrate the variation of the -non-membrane- percentage of the strain energy in the prebuckling region of elastic structures. The zenith angle of an arbitrary point of a specific curve on an octant of the unit sphere, called buckling sphere, is related to this energy percentage. For the limiting case of buckling from a membrane stress state this curve degenerates to a point, characterized by zero values of both spherical coordinates. For all other stress states the azimuth angle increases with the proportionally increasing load. Its magnitude at the stability limit correlates with a quantity that depends on both the -non-membrane- deformations and the stiffness of the structure at incipient buckling. The azimuth angle is computed with the help of the so-called Consistently Linearized Eigenproblem (CLE), which is solved by means of the Finite Element Method (FEM). This eigenvalue problem is the basis for a geometrical hypothesis for the -non-membrane- percentage of the strain energy. Implementation of several routines into the finite element sofware MSC.MARC allows for its alternative computation in a conventional manner. In the theoretical part of the work, the concept of the buckling sphere is presented. Thereafter, its numerical realization is described. MSC.MARC permits taking advantage of the versatility of commercial FE software. Simultaneously it allows for modifying the iterative solution process within the framework of the FEM. With the help of the software MATLAB, the derivatives of the global tangent stiffness matrix with respect to a dimensionless load parameter are computed. An iterative procedure is used to increase the accuracy of the solution of the CLE. A further improvement of the numerical solution is achieved by means of examining the numerical precision of the output of MSC.MARC. Automatization of the computation is accomplished with the help of PYTHON. The subsequent numerical investigation consists of several examples, referring to buckling from a membrane stress state, a pure bending stress state, and a general stress state. The practical motive for this research is the intention to investigate the influence of -non-membrane- action just before buckling on the initial postbuckling behavior of elastic structures.