A high order discontinuous Galerkin method for the Boltzmann equation

Abstract

In der vorliegenden Arbeit, wird eine numerische Methode zur Simulation des Verhaltens eines verdünnten Gases vorgestellt. Das mathematische Modell zur Beschreibung eines solchen Gases ist die Boltzmann Gleichung. Ihre Lösung, die üblicherweise mit f = f(t,x,v) bezeichnet wird, steht für die Anzahl an Teilchen die sich nahe dem Punkt x befinden und Geschwindigkeit nahe zu v haben. Die im Weiteren vorgestellte Diskretisierung ist eine Petrov-Galerkin Projektion. Für die numerische Approximation der Lösung wird ein Tensorprodukt verwendet. Die Testfunktionen sind globale Polynome in der Geschwindigkeitsvariable und lokale, unstetige, stückweise Polynome bezüglich der Ortskoordinate. Diese Testfunktionen liefern die Erhaltung physikalischer Erhaltungsgrößen natürlich. Die Ansatzfunktionen sind ähnlich den Testfunktionen lokale, unstetige, stückweise Polynome bezüglich der Ortsvariablen. In der Geschwindigkeitsvariablen wählen wir den Ansatz globaler Polynome multipliziert mit Gaussfunktionen. Das liefert gute Approximationseigenschaften nahe dem Equilibrium, also nahe der Fluiddynamik. Aufgrund der Unstetigkeit der Ansatz- und Testfunktionen treten Kantenintegrale in der Variationsformulierung auf. Durch die Wahl natürlicher Upwind Flüsse in diesen Integralen wird eine stabile Diskretisierung erzielt. Der Gausspeak in den Ansatzfunktionen stellt sicher, dass alle Integrale über den unbeschränkten Geschwindigkeitsraum existieren. Für deren Berechnung verwenden wir Gauss-Hermite Quadraturformeln. Im Gegensatz zu vielen anderen deterministischen Methoden wird kein zusätzlicher Modellfehler eingeführt, da weder der Geschwindigkeitsraum noch die Integrationsgebiete beschränkt werden müssen. Die Grundidee wird nun folgendermaßen erweitert: Die Gaussfunktion im Ansatzraum wird elementweise entsprechend der lokalen mittleren Geschwindigkeit und Temperatur geshiftet bzw. skaliert. Diese Parameter werden hierfür aus dem vorigen Zeitschritt ermittelt. Die Approximationseigenschaften des Ansatzraumes werden durch so eine Anpassung sehr stark verbessert, auf der anderen Seite treten Stabilitätsprobleme auf. Durch leichtes Glätten der eben genannten Parameter sind diese jedoch zum großen Teil in den Griff zu bekommen. Die Berechnung der Kollisionsintegrale hat in numerischen Berechnungen den größten Aufwand. Um diesen zu reduzieren führen wir die numerische Lösung von nodalen auf hierachische Polynome über um den innersten auftretenden Integraloperator in diagonale Form zu bringen. Wir zeigen, wie man spezielle Eigenschaften der Ansatzräume nutzen kann um effizient zwischen den Polynombasen zu transformieren. Abschließend zeigen wir numerische Ergebnisse als Validierung für das Verfahren. Dabei werden sowohl örtlich homogene als auch inhomogene Probleme gezeigt. Diese zeigen die exzellenten Approximationseigenschaften der angepassten Basisfunktionen, speziell nahe an der Fluiddynamik. Die Rechenzeiten der Beispiele zeigen außerdem den erzielten Geschwindigkeitsvorteil in der Auswertung der Kollisionsintegrale.

In the underlying thesis, we present a numerical method to solve for the behaviour of a dilute gas. The mathematical model behind such a gas is the Boltzmann equation. It-s solution, usually denoted by f = f(t,x,v) depends on time, position and velocity and holds the average number of particles having position close to x and velocity close to v. The discretization presented in the sequel is a Petrov-Galerkin projection. To numerically approximate the solution, we use a tensor product. The test functions are global polynomials in the velocity variable and local, discontinuous, piecewise polynomials in the position variable. These test functions yield the conservation of physically conserved properties naturally. The trial functions are similar to the test functions chosen as discontinuous, piecewise polynomials in the spatial variable. In the velocity variable, we take an approach of global polynomials multiplied with Gaussian peaks. This gives good approximation properties of solutions close to equilibrium and thus, close to the fluid regime. The discontinuities of the trial and test functions yield skeleton integrals in the variational formulation. By choosing natural upwind fluxes in these skeleton integrals a stable discretization is achieved. The Gaussian peak in the trial functions ensures additionally that all integrals over the unbounded momentum domain exist. For the evaluation we use the Gauss-Hermite quadrature rules. In contrast to many other deterministic methods there is no additional modelling error due to domain truncation. We extend the main idea in the following way: we shift and scale the Gaussian peaks element wise according to the gas- local mean velocity and temperature calculated from the previous time step. The approximation properties of the trial space are greatly enhanced by such a dependency on the solution. On the other hand, stability is decreased. By smoothing the above mentioned parameters mean velocity and temperature slightly, the stability issue can be avoided for the most part. The evaluation of the collision integrals in actual computations is a critical part since this involves a lot of numerical work. To reduce the complexity in the calculations we transform the solution from nodal to hierarchical polynomials to arrive at an inner integral operator in diagonal form. We show how to use the properties of the trial spaces to execute this transformations efficiently. Finally we show a lot of numerical examples as a validation for the method. This includes space homogeneous as well as space dependent problems. The results demonstrate the excellent approximation properties of the shifted and scaled basis functions, especially close to the fluid regime. In addition, the computation times show the speed up achieved by the evaluation techniques for the collision integral.