Survey of independence results in set theory

Abstract

Im ersten Kapitel zeigen wir, dass, wenn ZFC widerspruchsfrei ist, auch ZFC plus ZFC relativiert auf eine abzählbare, transitive Menge widerspruchsfrei ist. Um das zu beweisen zeigen wir, dass jede Formel in einer abzählbaren, transitiven Menge reflektiert wird und verwenden ein Kompaktheitsargument. Im zweiten Kapitel entwickeln wir die Forcing-Methode von Cohen. Wir benutzen dazu Boolsche Algebren. Wir zeigen wie man Halbordnungen in Boolsche Algebren einbettet, definieren Modelle von ZFC mit Boolschen Wahrheitswerten und zeigen wie aus solchen Modellen, durch Ausfaktorisieren nach einem generischen Filter, gewöhnliche Modelle mit binären Wahrheitswerten werden. Schließlich beweisen wir das Forcing-Theorem. In den folgenden Kapiteln zeigen wir die Unabhängigkeit verschiedener Aussagen von ZFC. Darunter sind die Kontinuumshypothese, die Suslin-Hypothese und das Karo-Prinzip. Weiters zeigen wir, wie man die Forcing-Methode transfinit wiederholt. Schließlich benutzen wir die wiederholte Forcing-Methode um die Widerspruchsfreiheit des Martinschen Axioms zu beweisen.

In the first chapter we show that if ZFC is consistent then so is ZFC plus its relativization to a countable, transitive set. To do this we prove a theorem that shows that every formula is reflected in a countable transitive set and then use a compactness argument. In the second chapter we develop Cohen-s forcing method using Boolean algebras. We show how partial orders can be embedded into Boolean algebras, define Boolean-valued models of set theory and show how Boolean-valued models can be turned into regular two-valued models by factoring with a generic filter. Finally we prove the forcing theorem. In the following chapters we prove the independence of various statements from ZFC, using the forcing method. Among them are the continuum hypothesis, the Suslin-hypothesis and the Diamond-principle. Furthermore we show various implications between these statements. We then show how to iterated the forcing method a transfinite number of times. Finally we employ this method of iterated forcing to prove the consistency of Martin's axiom.