Travelling around the harmonic archipelago

Abstract

Das harmonische Archipel ist ein Standardbeispiel für einen zwei-dimensionalen topologischen Raum mit ungewöhnlichen und unerwarteten Eigenschaften, vom Standpunkte der algebraischen Topologie aus betrachtet. Der Raum selbst ist mit Ausnahme eines einzigen Punktes homeomorph zu einer Kreisscheibe und kann als reduzierte Einhängung (reduced suspension) des Graphen der Funktion y=sin(1/x) beschrieben werden. Andererseits hat er auch eine natürliche Darstellung als Abbildungskegel (mapping cone) einer Verklebung (wedge) von Kreisen. Ersetzt man diese Kreise durch eine beliebige Schar von topologischen Räumen X_i, erhält man den allgemeinen Begriff des Archipelraums (archipelago space). Dessen Fundamentalgruppe ist ein Quotient des Topologen-Produkts (topologist's product) der zugehörigen Fundamentalgruppen G_i=pi_1(X_i) modulo dem entsprechenden freien Produkt. Im ersten Kapitel wird das überraschende Ergebnis gezeigt, daß dieser Quotient A(G_i), für höchstens abzählbare Gruppen G_i ohne Elemente der Ordnung 2, unabhängig von der tatsächlichen Wahl der beteiligten Gruppen ist. Insbesondere ist die Fundamentalgruppe eines Archipels, das aus beliebigen lokal endlichen CW-Komplexen zusammengesetzt ist, immer isomorph zu A(Z), der des harmonischen Standard-Archipels, oder zu A(Z_2), der des aus projektiven Ebenen zusammengesetzen Archipels. Im zweiten Kapitel wird eine andere bemerkenswerte Eigenschaft gezeigt: jede abzählbare lokal freie Gruppe läßt sich als Untergruppe in A(Z) einbetten. Im dritten Kapitel wird das Rekursionskalkül aus dem Beweis dieses Einbettungssatzes auf andere Gruppen erweitert und zeigt sich so als nicht-abelsche Entsprechung der Kotorsions-Eigenschaft. Damit ist es möglich, eine vollständige Beschreibung der ersten Homologiegruppe mancher wilder Räume zu gewinnen. Es erweisen sich insbesondere sämtliche Abelisierungen der Archipelgruppen A(G_i) als zu einander isomorph, sofern nur alle G_i nicht die Kardinalität des Kontinuums überschreiten.

The harmonic archipelago is a standard example of a two-dimensional space with unusual properties, regarding its algebraic topology. The space is homeomorphic to a disc but for a single point and can be described as the reduced suspension of the graph of the topologist's sine curve y=sin(1/x) On the other hand it also has a natural interpretation as a mapping cone over a wedge of circles. Replacing these circles with an arbitrary family of topological spaces X_i yields the generalized notion of an archipelago space. The fundamental group of such an archipelago is a quotient of the topologist's product of the fundamental groups G_i=pi_1(X_i) modulo the corresponding free product. In the first chapter, it is shown that, surprisingly, for countable groups G_i containing no elements of order 2 this quotient A(G_i) is independent of the actual choice of the constituent groups G_i. In particular, the fundamental group of any archipelago space built of locally finite CW-complexes is isomorphic to either that of the standard harmonic archipelago, A(Z), or to the one with projective planes instead of circles, A(Z_2). In the second chapter, another remarkable property is shown: that every countable locally free group can be embedded into A(Z) as a subgroup. In the third chapter, the recursion technique used in the proof of this embedding theorem is adapted to other groups and identified as a non-abelian analogue of cotorsion. By this it is possible to obtain a complete description of the first singular homology group of some wild spaces. In particular, the abelianizations of the archipelago groups A(G_i), with the G_i of cardinality less or equal to the continuum, are all isomorphic to each other.