Stability analysis and state multiplicity of incompressible buoyancy-driven flows in an inclined differentially heated square cavity

Abstract

The incompressible flow inside an inclined differentially heated square cavity is investigated. Two walls of the cavity opposite to each other are heated and cooled at a constant and uniform temperature and the remainder lateral walls are modelled as either perfectly conducting or adiabatic. The cavity is tilted in the two dimensional space such that an inclination angle of α=0° corresponds to a heating from below and α=180° to a heating from above. First, we consider the steady state solutions of the two dimensional flow for inclination angles α∈[−180°, 180°]. Alongside the classical motionless state of Rayleigh–Bénard convection, other steady states are found when the fluid is heated from below. These solutions, composed of a different number of vortices filling the cavity, are smoothly connected with each other by varying the cavity’s inclination angle. This observed state multiplicity is investigated for both perfectly conducting and adiabatic lateral walls, with both cases delivering multiple states with a similar flow structure. In order to compare the different steady states to each other, the heat transfer of the hot wall is shown as a function of the inclination angle. Second, the flow stability inside a cavity with perfectly conducting lateral walls is investigated. The flow is decomposed into a two dimensional basic flow and a three dimensional perturbation flow. Using a linear stability analysis, the perturbation flow is represented by a normal mode ansatz, assuming the cavity is infinitely extended in the third dimension. We show the curve of parameters such as the critical Rayleigh number, wavenumber and mode oscillation frequency as a function of the inclination angle. The linear stability analysis shows an increased stability when the fluid is heated from above compared to a heating from below. In the former case, a study of the growth of the kinetic energy reveals that the destabilisation can be attributed mainly to inertia and in the latter case, to buoyancy.

Es wird die inkompressible Strömung im Inneren eines geneigten, unterschiedlich beheizten quadratischen Behälters untersucht. Zwei gegenüberliegende Behälterwände werden bei einer konstanten und gleichmäßigen Temperatur beheizt, respektive gekühlt. Die übrigen Seitenwände werden entweder als perfekt leitend oder adiabatisch modelliert. Der Behälter ist im zweidimensionalen Raum so geneigt, dass eine Beheizung von unten einem Neigungswinkel von α=0° und eine Beheizung von oben einem Neigungswinkel von α=180° entspricht. Zunächst wird die stationäre Lösung der zweidimensionalen Strömung mit dem Neigungswinkel α∈[−180°, 180°] betrachtet. Wird die Flüssigkeit von unten beheizt, werden neben dem klassischen bewegungslosen Zustand der Rayleigh-Bénard-Konvektion, auch andere stationäre Lösungen beobachtet. Diese Lösungen unterliegen unterschiedlichen Wirbelbildungen, welche den Behälter ausfüllen. Sie sind durch Variationen des Neigungswinkels kontinuierlich und nahtlos miteinander verbunden. Diese Zustandsvielfalt wird sowohl bei perfekt leitenden als auch adiabatischen Seitenwänden aufgefunden. In beiden Fällen werden mehrere Zustände mit einer ähnlichen Strömungstruktur beobachtet. Um einen Vergleich der verschiedeneren stationären Lösungen zu erreichen, wird der Wärmeübergang der heißen Wand als Funktion des Neigungswinkels dargestellt. Als nächstes wird die Stabilität der Strömung in einem Behälter mit perfekt leitenden Seitenwänden untersucht. Die Strömung wird in eine zweidimensionale Grundströmung und eine dreidimensionale Störungsströmung aufgeteilt. Mit Hilfe einer linearen Stabilitätsanalyse wird die Störungsströmung durch einen Normalmodenansatz dargestellt. Dabei wird angenommen, dass der Behälter in der dritten Dimension unendlich ausgedehnt ist. Es wird der Verlauf von Parametern wie der kritischen Rayleigh-Zahl, der Wellenzahl und der Schwingungsfrequenz in Abhängigkeit vom Neigunswinkel gezeigt. Die lineare Stabilitätsanalyse zeigt eine erhöhte Stabilität, wenn das Fluid von oben beheizt wird, im Gegensatz zu einer Beheizung von unten. Im ersten Fall zeigt eine Untersuchung der Änderungsrate der kinetischen Energie, dass die Destabilisierung hauptsächlich auf den Strömungsimpuls und im zweiten Fall auf den Auftrieb zurückzuführen ist.