Title: Spherical isoperimetric inequalities
Other Titles: Sphärische Isoperimetrische Ungleichungen
Language: English
Authors: Hack, Thomas 
Qualification level: Doctoral
Advisor: Schuster, Franz 
Issue Date: 2019
Number of Pages: 69
Qualification level: Doctoral
Abstract: 
Diese Arbeit enthält Beiträge zur Theorie konvexer Körper, das sind konvexe, kompakte Mengen, in Räumen konstanter Krümmung, insbesondere der Euklidischen Einheitssphäre. Zuerst wird eine Definition des Schwerpunktkörpers auf der Sphäre gegeben, in der die geometrische Konstruktion ebenjener im flachen Raum imitiert wird. Grundlegende Eigenschaften dieses neuen Objekts, einschließlich dessen stochastische Approximation, werden untersucht, sowie eine isoperimetrische Ungleichung für den Polarkörper des sphärischen Schwerpunktkörpers bewiesen. Dies ist eine gemeinsame Arbeit mit Florian Besau, Peter Pivovarov und Franz Schuster. Das zweite Thema dieser Arbeit ist eine randomisierte Version einer isoperimetrischen Ungleichung von Gao, Hug und Schneider im sphärischen Raum, welche besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein sphärisch konvexer Körper mit gegebenem Volumen eine zufällig gewählte Groß-Hypersphäre schneidet, minimiert wird, wenn es sich bei diesem Körper um eine sphärische Kappe handelt. Zusammen mit Peter Pivovarov wird deren Ergebnis auf konvexe Hüllen zufällig gewählter Punkte erweitert. Es wird gezeigt, dass der Erwartungswert des obigen Funktionals minimal wird, wenn die Punkte auf sphärischen Kappen gleichverteilt sind. Zum Schluss werden Durchschnitte und Vereinigungen endlich vieler geodätischer Kugeln mit fixem Radius im sphärischen, Euklidischen oder hyperbolischen Raum, deren Mittelpunkte zufällig gewählt werden, betrachtet. Es wird gezeigt, dass das erwartete Volumen einer solchen Menge zunimmt (im Falle eines Durchschnitts), respektive abnimmt (im Falle einer Vereinigung), wenn die Dichtefunktionen der Verteilungen der Mittelpunkte durch ihre Radialsymmetrisierungen ersetzt werden. Dadurch wird ein Resultat von Paouris und Pivovarov auf Räume konstanter Krümmung erweitert.

This thesis contains contributions to the theory of convex bodies, that is, convex, compact sets, in spaces of constant curvature, in particular, the Euclidean unit sphere. First, a definition of centroid bodies on the sphere is given by mimicking the geometric construction from flat space. Basic properties of this new object, including a stochastic approximation procedure, are established, and an isoperimetric inequality for the polar of the spherical centroid body is obtained. This is a joint work with Florian Besau, Peter Pivovarov, and Franz Schuster. The second topic of this thesis is a randomized version of an isoperimetric inequality of Gao, Hug, and Schneider in spherical space, which says that the probability of a spherical convex body of given volume meeting a random great hypersphere is minimized, if the body is a spherical cap. Together with Peter Pivovarov, their result is extended to convex hulls of finitely many points drawn according to probability distributions. Uniform distributions on spherical caps are shown to be minimizers. As a corollary, a randomized Blaschke--Santaló inequality on the sphere is obtained. Finally, intersections and unions of finitely many geodesic balls of given radius in spherical, Euclidean, or hyperbolic space, whose centers are chosen according to probability densities, are considered. It is shown that the expected volume of such sets is increasing (in the case of intersections), or decreasing (in the case of unions, respectively), if the density functions are replaced by their symmetric decreasing rearrangements. Thereby, a result of Paouris and Pivovarov is extended to spaces of constant curvature.
Keywords: sphärische Konvexgeometrie; randomisierte isoperimetrische Ungleichungen
spherical convexity; randomized isoperimetric inequalities
URI: https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-130804
http://hdl.handle.net/20.500.12708/4464
Library ID: AC15506206
Organisation: E104 - Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
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