Stability analysis and a dissipative FEM for an Euler-Bernoulli beam with tip body and passivity-based boundary control

Abstract

Diese Dissertation befasst sich mit einem Modell für das dynamische Verhalten eines Kragbalkens mit einem Starrkörper am Balkenende. Dabei kann die Biegung des Balkens mit der Euler-Bernoulli Gleichung beschrieben werden. Damit das System dissipativ wird, wurde eine dynamische passivitätsbasierte Rückkopplung am freien Ende des Balkens durchgeführt. In der vorliegenden Doktorarbeit werden das Langzeitverhalten und die asymptotische Stabilität des Systems untersucht. Für die mathematische Behandlung, wurde das System als eine Evolutionsgleichung formuliert. Erst wird gezeigt, dass der Systemoperator der infinitesimale Generator einer stark stetigen Halbgruppe von gleichmäßig beschränkten Operatoren ist. Falls die Präkompaktheit der Lösungstrajektorien des Systems nachgewiesen werden kann, folgt darauf die asymptotische Stabilität direkt aus dem La Salle'schen Invarianz-Prinzip. Aus der Literatur ist bekannt, dass das System mit linearer dynamischen Rückkopplung asymptotisch stabil ist. Dennoch wird mit Hilfe der Spektralanalyse gezeigt, dass das System nicht exponentiell stabil ist. Wenn die Regelung auch Nichtlinearitäten enthält, ist der Nachweis für die Präkompaktheit der Lösungstrajektorien schwierig und es wurde ein neuer alternativer Ansatz entwickelt. Hierzu wird zuerst ein einfacheres Modell betrachtet: Ein Balken mit einem Starrkörper am Ende sowie ein am Balkenende befestigtes nichtlineares Feder - Dämpfer System. Für dieses System wurde gezeigt, dass die Trajektorien der klassischen Lösungen präkompakt sind, und dass für fast alle Trägheitsmomente des Starrkörpers, die Lösung im Langzeitverhalten gegen Null konvergiert. Die entwickelte Methode für asymptotische Stabilität wurde weiterhin auf das System mit nichtlinearen dynamischen Reglern ausgeweitet. Eine weitere Fragestellung in dieser Dissertation ist Entwicklung eine numerische Methode für das Euler-Bernoulli-Balken-System mit einem dynamischen Regler oder mit einem nichtlinearen Feder-Dämpfer-System am Balkenende. Zuerst wurde zur Ortsdiskretisierung die Methode der Finiten Elemente angewendet, und im zweiten Schritt wurde das Crank-Nicolson Schema für die Zeitdiskretisierung ausgeführt. In mehreren Simulationsbeispielen wird die Efizienz und Dissipativitt des entwickelten numerischen Verfahrens illustriert.

In this thesis, time evolution of a cantilever with tip body is considered. The cantilever is modeled by the Euler-Bernoulli beam equation. A passivity based dynamic feedback controller is applied at the free end to include damping. The main questions studied in this thesis is the long-term behavior of such controlled systems, in particular the asymptotic stability. To perform the stability analysis, the system is posed as an evolution problem. Identifying an appropriate Lyapunov functional proves to be fundamental. First, it is demonstrated that the system operator generates a strongly continuous semigroup of uniformly bounded operators. Demonstrating the precompactness of system trajectories, the asymptotic stability follows from La Salle's invariance principle. From the literature it is known that the system with linear feedback control is asymptotically stable. by means of spectral analysis it is proved that this system is not exponentially stable. When the control law includes nonlinearities, the proof for the precompactness of the system trajectories is diffcult and a novel approach is developed. A toy-model is introduced: a beam attached to a spring and a damper, both nonlinear. For this system it is shown that the solutions trajectories are precompact and for almost all moments of inertia of the tip body, the trajectories tend to zero as time goes to infinity. The developed method is extended to the case with the nonlinear dynamic boundary control where the asymptotic stability is demonstrated for classical solutions. A numerical method for the Euler-Bernoulli beam system with dynamic boundary control or nonlinear spring and damper attached at the end is also considered. The finite element method is utilized for the space discretization, and the Crank-Nicolson scheme for time discretization. To illustrate the effectiveness and dissipativity of the developed numerical method, simulation results are presented.