Prämienkalkulationsprinzipien für heavy-tailed Risiken

Abstract

In der Versicherungsmathematik ist die Berechnung einer gerechten Prämie für das versicherte Risiko eine der wichtigsten Aufgaben. Unter den klassischen Prämienkalkulationsprinzipien zeichnet sich das sogenannte Exponentialprinzip dadurch aus, dass es sehr viele Gütekriterien erfüllt. Zum Einstieg werden im Kapitel 2 weitere bisher bekannte klassische Prämienkalkulationsprinzipien und deren wünschenswerte Eigenschaften vorgestellt. Das dritte Kapitel stellt einen Überblick über die wichtigsten Definitionen und Sätze der Extremwerttheorie dar. Es werden ebenso Methoden zur Schätzung und Modellierung von Tails sowie deren Messgrößen vorgestellt. Wenn Versicherungsschäden einer heavy-tailed Verteilung zugrundeliegen, dann verursacht dies erhebliche Fehler über den Wert des Tail-Indexes. Analog zum Exponentialprinzip für thin-tailed Schäden wird das Potenzprinzip für heavy-tailed Schäden vorgestellt. Ferner wird beschrieben, dass die Prämie bei Schäden, die einer Verallgemeinerten Pareto-Verteilung zugrundeliegen, als das Verhältnis der zwei größten erwarteten Schäden definiert ist.

The calculation of a fair premium for the insured risk is one of the most important tasks of the actuarial mathematics. Among the classic premium calculation principles, the so-called exponential principle distinguishes by the fact that it fulfills many desirable properties. As an introduction more previously known classic premium-calculation-principles and their desirable characteristics are presented in chapter 2. The third chapter presents an overview of the main definitions and theorems of the extreme value theory. Methods for estimating and modeling of Tails and their measures are presented as well. If insured losses are governed by heavy-tailed distributions this causes significant uncertainty about the value of the tail index. Analogous to the exponential principle for thin-tailed claims the 'power principle' for heavy-tailed claims is presented. Furthermore, it is described that the premium for claims, which underlie a generalized Pareto distribution, is defined as the ratio of the two biggest expected losses.