Funktionen und Unschärfe

Abstract

Diese Diplomarbeit behandelt Funktionen, Unschärfe und ihre Anwendungen. Die Problemstellung liegt darin, inwieweit man mathematische Definitionen und Sätze verallgemeinern kann, damit sie in Kombination mit unscharfen Zahlen funktionieren und wie man mit Schwierigkeiten, die dabei auftauchen, umgehen soll. Im ersten Kapitel wird die Basis für Funktionen und insbesondere die der Dichtefunktion erläutert, die eine besondere Rolle in den späteren Kapiteln spielen. Im zweiten Kapitel wird die mathematische Grundlage für die Modellierung von Unschärfe erklärt, wie man unscharfe Zahlen, unscharfe Intervalle und unscharfe Vektoren beschreiben kann und welche Sätze wichtig sind. Im dritten Kapitel wird der Zusammenhang zwischen Funktionen und Unschärfe erläutert, wie die Verallgemeinerungen sowohl bei unscharfen Funktionswerten als auch bei unscharfen Argumenten aussieht. Darüber hinaus wird auch die Arithmetik und Integration bei Unschärfe dargestellt, letzteres auch im Falle von unscharfen Integrationsbereichen. Im vierten Kapitel folgen Anwendungen der Unschärfemodellierung. Es wird näher beschrieben, wie das Bayes'sche Theorem bei Unschärfe verallgemeinert werden kann, wie Zeitreihen und ihre Methoden im Falle von Unschärfe modifiziert werden können. Als eine Anwendung der unscharfen Zeitreihen zählt das unscharfe Zeitreihenmodell im Zusammenhang mit der Fourier-Residuenanalyse.

This thesis deals with functions, fuzziness and their applications. The problem lies in the extent to which mathematical definitions and sentences can be generalized so that they work in combination with fuzzy numbers and how to deal with difficulties that arise. The first chapter explains the basis for functions, and in particular those of the density function, which play a special role in the later chapters. In the second chapter the mathematical basis for the modeling of fuzziness is explained, how to describe fuzzy numbers, fuzzy intervals and fuzzy vectors, and which theorems are important. In the third chapter, the relationship between functions and fuzziness is explained as the generalizations appear both with fuzzy function values as well as with fuzzy arguments. In addition, arithmetic and integration are also shown in fuzziness, the latter also in case of fuzzy integration regions. The fourth chapter is followed by applications of fuzzy modeling. The Bayesian theorem is described in more detail, how it can be generalized in terms of fuzziness and how time series and their methods can be modified in case of fuzziness. As an application of the fuzzy time series, the fuzzy time series model in relation to the Fourier residual analysis is used.