Simulation of the pulmonary circulation: model comparison and implementation

Abstract

Pulmonale Hypertonie ist eine ernstzunehmende Krankheit, die unheilbar ist und sogar zum Herzversagen führen kann. Daher ist eine frühe Diagnose dieser Krankheit sehr wichtig. Da jedoch der Blutdruck im pulmonalen Kreislauf nur invasiv gemessen werden kann und dies vor allem in den kleineren Gefäßen eine Herausforderung darstellt, werden mathematische Methoden zur Modellierung von Blutdruck und -fluss verwendet. Außerdem werden diese Modelle auch eingesetzt, um signifikante Parameter zur Differenzierung verschiedener Arten pulmonaler Hypertonie anhand zugehöriger Druck- und Flusskurven zu identifizieren. Im Rahmen dieser Arbeit werden drei verschiedene Methoden zur Modellierung ebendieses Kreislaufs betrachtet. Diese drei Methoden kommen in der Literatur bezogen auf die Simulation des pulmonalen Kreislaufs am häufigsten zum Einsatz. Es werden sowohl mathematische Formulierungen und Herleitungen dieser drei Modelle als auch exemplarische Anwendungen in der Literatur erläutert. Einer der Ansätze zur Modellierung, der in dieser Arbeit berücksichtig wird, ist das sogenannte Windkesselmodell. Es kann über eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung beschrieben werden und wird oftmals auch als elektrischer Schaltkreis dargestellt. Das Windkesselmodell ist ein Modell, welches die Veränderung von Druck und Fluss in einem Gefäß über die Zeit ohne Ortsausbreitung modelliert. Der zweite Ansatz, auf den in der Arbeit näher eingegangen wird, basiert auf den sogenannten Womersley Lösungen. Dies sind Lösungen von eindimensionalen linearisierten Navier-Stokes Gleichungen für Newtonsche Flüssigkeiten. Einer der Vorteile dieses Modellierungsansatzes ist, dass nun sowohl räumliche Ausbreitung als auch eventuell auftretende Wellenreflexionen modelliert werden können. Die dritte betrachtete Modellierungsmethode bezieht sich auf die eindimensionalen nicht-linearisierten Navier-Stokes Gleichungen. Diese werden oftmals numerisch über Finite-Elemente-Methoden gelöst, wobei als rechte Randbedingung sehr häufig ein Strukturbaum der kleinsten Blutgefäße verwendet wird. Dadurch können insbesondere Druck und Fluss in den kleinen Arteriolen und Venolen sowie Kapillaren modelliert und simuliert werden. Darüber hinaus wurde ein RC-Baum zur Simulation des pulmonalen Kreislaufs implementiert. Über einen RC-Baum ist es möglich den Arterienbaum im pulmonalen Kreislauf zu modellieren. Der RC-Baum basiert auf 2-elementigem Windkesselmodellen, wobei jedes der betrachteten Gefäße vermittels eines 2-elementigen Windkesselmodells dargestellt wird. Zur Simulation dieses Modells wurden 17 Generationen pulmonaler Blutgefäße in das Modell integriert. Zur Modellierung wurden die einzelnen Generationen seriell hintereinander geschaltet. Gefäße innerhalb einer Generation wurden als parallel angesehen und hatten dieselben Widerstände und Compliances als Parameter. Das RC-Baum Modell bietet auch die Möglichkeit der Simulation von Gefäßverschlüssen unterschiedlichster Ordnungen im pulmonalen Arterienbaum. Der Vergleich der unterschiedlichen Modellierungsmethoden, die im Zuge der Arbeit in Betracht gezogen wurden, lässt deutliche Unterschiede der Modelle erkennen. Einen der signifikantesten Unterschiede zwischen den beiden Ansätzen, die auf den Navier-Stokes Gleichungen basieren, stellen die unterschiedlich starken Annahmen für deren Herleitungen dar. Eine sehr charakteristische Eigenschaft der eindimensionalen Modelle verglichen zum Windkesselmodell ist, dass die erstgenannten auch örtliche Ausbreitung von Druck- und Flusswellen in Betracht ziehen. Somit können auch Wellenreflexionen sowie vorwärts- und rückwärtslaufende Wellen mit Hilfe der eindimensionalen Modelle berücksichtigt werden. Die durchgeführte Literaturrecherche ließ außerdem darauf schließen, dass verschiedene Krankheitsgrade und -arten pulmonaler Hypertonie mit Hilfe der drei betrachteten Modelle unterschieden werden können. Für diese Differenzierung können verschiedenste Parameter der Modellierungsmethoden betrachtet werden. Außerdem wurde die RC-Zeit, unabhängig von der Patientengruppe und des zugehörigen Krankheitsgrades pulmonaler Hypertonie, als konstant identifiziert. Jedoch konnte dieses Verhalten der RC-Zeit nicht unter der Annahme von konstanter Compliance und der Möglichkeit des Gefäßverschlusses in den Simulationsergebnissen des RC-Baum Modells beobachtet und erklärt werden. Zusammengefasst kann gesagt werden, dass im Zuge dieser Arbeit die drei häufigsten Modellierungsmethoden zur Simulation des pulmonalen Kreislaufs in der Literatur studiert wurden. Jede dieser Methoden zur Modellierung des pulmonalen Kreislaufs hat Vor- und Nachteile bezogen auf die Simulation dieses Kreislaufs. Im Kontext einer gewissen Fragestellung hängt es insbesondere von der geforderten Komplexität und der Detailliertheit ab welches der Modelle zur Simulation des pulmonalen Kreislaufs angewandt werden sollte. Es war außerdem auch möglich zwischen gesunden und kranken Personen mit Hilfe jedes der drei Modelle zu differenzieren. Schlussendlich konnten auch Auswirkungen von Gefäßverschlüssen im pulmonalen Kreislauf betrachtet werden. Diese Auswirkungen wurden in den Simulationsergebnissen des implementierten RC-Baums untersucht. Zugleich wurde darauf geschlossen, dass das qualitative Verhalten der Simulationsergebnisse ähnlich zu Ergebnissen aus der Literatur ist.

Pulmonary hypertension is a severe and incurable disease. It can even lead to heart failure. Thus, it is important to diagnose this type of disease as early as possible. Since blood pressure in the pulmonary circulation can only be obtained via invasive measurements, which is not an easy task, mathematical models for blood pressure and flow in this system are of great importance. Also in terms of investigating pressure and flow waveforms with respect to find significant parameters for distinguishing several disease stages of pulmonary hypertension, mathematical models are used. In this thesis three different approaches of modelling the pulmonary circulation, which are most commonly applied for simulation in literature, are investigated. The mathematical formulation of each of these modelling approaches is derived in more detail and also some examples of applications in literature are given. The first modelling theory that is considered is the so called Windkessel model. It can be described by an ordinary differential equation of first order and is often related to an electrical circuit. It is a lumped parameter model and hence does not take spatial distribution of pressure and flow into account. The second model that is examined is based on the one-dimensional linearised Navier-Stokes equations, also referred to as Womersley equations. They are derived from the Navier-Stokes equations for Newtonian fluids. An advantage of this approach is, that it also considers spatial distribution and the possibility of wave reflections. The last approach taken into account is the system of one-dimensional non-linear Navier-Stokes equations. They are commonly solved numerically by finite element schemes and by using structured trees as outlet boundary conditions. Thereby, especially the pressure and flow waveforms in the small arterioles, capillaries and small venules can be simulated by the structured trees. Furthermore, in terms of application of the Windkessel modelling method to the pulmonary circulation, an RC-tree model was implemented. The RC-tree model is a branching tree model based on 2-element Windkessel models for each vessel. For simulation 17 generations of pulmonary arterial vessels were considered. In the model the generations are connected in series while vessels within a specific generation are seen as parallel. The parallel vessels of one generation have the same resistances and compliances. This RC-tree modelling method is especially used to simulate the effects of different degrees of occlusion in different generations of the considered branching tree. Comparing the mathematical formulations with one another leads to significant differences of the models. The most remarkable distinction of the two methods based on the Navier-Stokes equations is that for the Womersley equations stronger assumptions are needed than for the one-dimensional non-linear Navier-Stokes equations. The main difference between the one-dimensional models (one-dimensional linearised and non-linear Navier-Stokes equations) and the Windkessel modelling method is that the latter is a lumped parameter model and that it does not take spatial distribution into account. Therefore, wave reflections and thus forward and backward travelling waves can only be investigated via the approaches based on the Navier-Stokes equations. Literature review also showed that different types and disease stages of pulmonary hypertension can be distinguished by all three modelling methods. Moreover, via the Windkessel models RC-time was identified to be constant throughout all patients with and without pulmonary hypertension. However, on the assumption of constant compliance and the possibility of occlusion of vessels the simulation results of the RC-tree model did not show this characteristic. Thus, it did not explain constant RC-time which was stated in the literature. Altogether, in the course of this thesis, three different main approaches of modelling and simulating the pulmonary circulation found in literature were studied. In terms of simulation of the pulmonary circulation each of these modelling methods has its advantages and disadvantages. So, applying one of these models to the pulmonary circulation also depends on the order of detail and complexity, which is needed for modelling a specific problem. Furthermore, it was possible to distinguish between healthy and ill patients by each of the considered types of models. Lastly, especially effects of occlusion on the pulmonary circulation could be seen in the simulation results of the own implemented RC-tree model. The qualitative behaviour of the results was concluded to be similar to simulation results stated in literature.