The stochastic heat equation in two dimensions

Abstract

Wir zeigen für die Gleichung $dv(t)=\left(\frac{1}{2}\varDelta v+F_{t}\right)\:dt+\nabla v\cdot dW_{t}$, in 2 dimensionen, mit $F_{t}\phi:=\int_{0} {t}\phi(-W_{r}-\mu)\:dr$, die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung im Sinne der temperierten Distributionen. Weiters stellen wir eine Verbindung zwischen der Lösung und der "self-intersection local time" einer planaren Brown'schen Bewegung her. Das erste und zweite Moment dieser Lösung erfüllen, im Sinne der temperierten Distributionen, spezielle PDEs. Das Gleiche gilt für die momentenerzeugende Funktion welche, im distributionellen Sinn, als Lösung einer PDE aufgefasst werden kann. Ein Nebenresultat dieser Beweise ist die Existenz der momentenerzeugenden Funktion der "self-intersection local time" $\mathbb{E}[\exp(\theta\beta_{2}(x,t))]$ für Punkte $x\neq0$ und gewisse Werte $\theta$.

For the equation $dv(t)=\left(\frac{1}{2}\varDelta v+F_{t}\right)\:dt+\nabla v\cdot dW_{t}$ in 2 dimensions with $F_{t}\phi:=\int_{0} {t}\phi(-W_{r}-\mu)\:dr$, we will show the existence and uniqueness of a solution in the sense of tempered distributions. Further, a connection between this solution and the self-intersection local time of a planar Brownian motion will be establised. We will also show that the first and second moment of the solution satisfy, in the sense of tempered distributions, certain PDEs and the moment generating function satisfies a certain PDE in the sense of distributions. A byproduct of this result is the existence of the moment generating function of the self-intersection local time $\mathbb{E}[\exp(\theta\beta_{2}(x,t))]$ for points $x\neq0$ and certain values of $\theta$.