Hardy-Raum Infinite Elemente für Resonanzprobleme in zylindrischen Wellenleitern

Abstract

Es existieren zwei unterschiedlichen Arten von Problemen, die bei der Untersuchung von zeit-harmonischen Wellen entstehen. Bei Streuprobleme sind eine Quelle und eine Frequenz vorgegeben. Bei Resonanzproblemen werden Frequenzen gesucht, für die das Problem nicht mehr eindeutig lösbar ist. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf letzterem. Außerdem betrachten wir für diese Arbeit zwei Arten von Wellen, nämlich akustische und elektromagnetische. Erstere werden durch die Helmholtz-Gleichung, zweitere durch die zeitharmonische Maxwell-Gleichung beschrieben. Das unbeschränkte Gebiet, auf dem sich die Wellen bewegen, ist vom Typus eines Wellenleiters. Diesen unterteilen wir in einen beschränkten Innenund einen unbeschränkten Außenraum, in den die Welle ausstrahlt oder ausläuft. Der Innenraum wird mithilfe der Finiten Elemente Methode bearbeitet. Für den unbeschränkt Außenraum benötigen wir spezielle Infinite Elemente, die von einem Parameter und der Anzahl der Freiheitsgrade im Außenraum abhängig sind. Diese speziellen Infiniten Elemente sind der Hauptgegenstand dieser Arbeit. In den numerischen Beispielen am Ende der Arbeit zeigen wir exponentielles Abfallverhalten des Fehlers bezüglich der Anzahl der Freiheitsgrade in Ausstrahlungsrichtung. Außerdem zeigen wir, wie sich die Resonanzen anhand des Parameters verhalten.

Wave phenomena can be divided into two categories. Scattering problems, where the right side, i.e. a source and a frequency are given. In the case of resonance problems, we look for frequencies, for which the problem is not uniquely solvable. This work deals with the latter. In addition, we consider two types of waves for this work: acoustic and electromagnetic waves. The former are described by the Helmholtz equation, the second by the time-harmonic Maxwell equation. The unrestricted area on which the waves move is of a waveguide type. We subdivide this into a restricted inner and an unrestricted outer space into which the wave radiates or leaks. The interior is processed using the Finite Element Method. For the unrestricted outer space, special Infinite Elements are required, which depend on a parameter and the number of outer degrees of freedom. These special Infinite Elements are the main subject of this work. In the numerical examples at the end of the work, we show exponential falling behavior of the error in the direction of emission with respect to the number of degrees of freedom. We also show how the resonances behave, depending on the parameter.