Central and non-central limit theorems

Abstract

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Theorie und den Anwendungen Zentraler Grenzwertsätze (ZGWS) und Nicht-Zentraler Grenzwertsätze (NZGWS). Teil I dient als Einleitung. In Teil II beschäftigen wir uns mit dem Grenzverhalten zufälliger Summen und beweisen einen NZGWS und Konvergenzraten. In diesem Teil liegt der Schwerpunkt auf der von uns vorgeschlagenen Beweistechnik. In Teil III analysieren wir das Grenzverhalten von Semimartingalen für kurze Zeiten. Wir beweisen ZGWS und gehen auf Anwendungen in der Finanzmathematik ein. Teil II und Teil III sind voneinander unabhängig. Teil I, Vorbereitung: Kapitel 1 wiederholt klassische ZGWS und ist Grundlage für alles Weitere. In den Kapiteln 2 und 3 beschäftigen wir uns mit der steinschen Methode und der Asymptotik zufälliger Reihen. Kapitel 4 widmet sich dem Konzept der Stichprobenverzerrung. Ziel der Kapitel 2 bis 4 ist es, einen Grundstein für Teil II zu legen. Kapitel 5 motiviert die in Teil II ausgeführte Forschung. Mit Kapitel 6 wechseln wir das Thema und präsentieren ein heuristisches Argument zugunsten eines ZGWS für eine Klasse stetiger Semimartingale. Kapitel 7 greift diese Fragestellung auf und motiviert die in Teil III ausgeführte Forschung. Teil II, Analyse von Zufallssummen poissonscher Mischverteilungen mittels steinscher Methode: Mithilfe der steinscher Methode geben wir Abschätzungen für die Wasserstein- und die Kolmogorov-Distanz zwischen Zufallssummen poissonscher Mischverteilungen und ihren Grenzverteilungen. Beachtenswert ist wie die steinsche Methode zur Anwendung kommt. Durch stochastisches Bedingen ist es möglich, den Fall einer gaußschen Varianz-Mischverteilung auf den Fall einer Normalverteilung zurückzuführen, wodurch man die Analyse einer unhandlichen Stein-Gleichung umgehen kann. Teil III, Zentrale Grenzwertsätze für Semimartingale für kurze Zeiten: Wir zeigen einen ZGWS sowie einen funktionalen ZGWS für stetige Semimartingale für kurze Zeiten. Wir verallgemeinern diese Resultate für Semimartingale mit Sprüngen. Als Anwendungen in der Finanzmathematik besprechen wir die Bepreisung digitaler Optionen am Geld für kurze Zeiten und geben eine Abschätzung für die Asymptotik erster Ordnung der implied volatility skew am Geld.

This dissertation is focused on the theory and applications of central limit theorems (CLTs) and non-central limit theorems (NCLTs). Part I has preliminary character. In Part II, we deal with the limit behavior of random sums. We prove a NCLT and rates of convergence. In this part, our primary emphasis is the new method of proof we propose. In Part III, we study the limit behavior of semimartingales for small times. We prove CLTs and extend these to functional CLTs on the process level. Subsequently, we show applications in mathematical finance. Part II and Part III are independent of each other. Part I, Preliminaries: In Chapter 1, which is the foundation of Part II and Part III, we recapitulate classical CLTs. In Chapters 2 and 3, we introduce the reader to the rudiments of Stein's method and review parts of the asymptotic theory of random sums. Chapter 4 deals with the concept of size biasing. The knowledge of Chapters 2 to 4 is essential for Part II. Chapter 5 motivates the research which is carried out in Part II. In Chapter 6 we change the subject and give a heuristic argument in favor of a smalltime CLT for a class of continuous semimartingales. Chapter 7 seizes this idea and further motivates the research in Part III. Part II, Analysis of Poisson Mixture Sums via Stein's Method: By using Stein's method, we study the Wasserstein, as well as the Kolmogorov distances of Poisson mixture sums and their limit distributions. The primary focus is laid on how Stein's method is applied. By stochastic conditioning, it is possible to work with Stein's equation of the Gaussian distribution instead of a more complex Stein equation. Part III, Small-Time Central Limit Theorems for Semimartingales: We prove a CLT, as well as a functional CLT on the process level for continuous semimartingales for small times. These results are extended to semimartingales with jumps. As an application to mathematical finance, we discuss the pricing of at-the-money digital options with short maturities and the asymptotics of at-the-money short time implied volatility skews.