A generalization of Panjer's recursion for dependent claim numbers and an approximation of Poisson mixture models

Abstract

Diese Dissertation befasst sich mit zwei Verallgemeinerungen des CreditRisk+ Modells und Anwendungen der Panjer Rekursion. Im ersten Teil behandeln wir eine Verallgemeinerung des kollektiven Risikomodells und der Panjer Rekursion. Das Modell, das wir betrachten, besteht aus mehreren Geschäftsbereichen mit abhängigen Ausfallzahlen. Es ist eine Summe von kollektiven Risikomodellen. Eine Annahme des Modells ist, dass die Verteilungen der Schadenzahlen Poisson-Mischverteilungen sind. Eine Mischverteilung spiegelt einen Ausfallgrund im CreditRisk+ Modell wider, das mathematisch gesehen ebenfalls ein kollektives Risikomodell ist. In unserer Dissertation sind die Ausfallgründe mit bestimmten Abhängigkeitsstrukturen versehen und es wird bewiesen, dass die Panjer Rekursion ebenfalls anwendbar ist, indem wir eine geeignete äquivalente Darstellung der Anzahl der Schäden finden. Diese Abhängigkeitsstrukturen sind von stochastischer und linearer Natur. Solche stochastisch linearen Abhängigkeitsszenarien sind dazu geeignet, auch negative Korrelation zwischen den Schadenzahlen zu erzeugen. Bei der Mischung der Schadenzahlen mit gemeinsamen Verteilungen bleibt ebenfalls die Anwendbarkeit der Panjer Rekursion erhalten. Des Weiteren beweisen wir, dass, wenn die Verteilungen der Schadenhöhen voneinander linear und stochastisch abhängen, die zusammengesetzte Verteilung mit Panjers Rekursion berechnet werden kann. Es ist auch möglich, eine multivariate Variante der Panjer Rekursion und von de Prils Rekursion zu beweisen, wenn die Schadenhöhen nicht unabhängig und identisch verteilt, sondern austauschbar sind. Wir formulieren diese Ergebnisse in entsprechenden Algorithmen. Unter Benutzung dieser Resultate berechnen wir Risikobeiträge der Risiken aufgrund eines Ausfallgrundes mit solchen Abhängigkeitsstrukturen. Dazu nutzen wir das Riskomaß des bedingten Expected Shortfalls, das es auch zulässt, Risikobereitstellungen in einem Multiperiodenmodell zu betrachten. Beispiele zeigen, dass unterschiedliche Arten von Korrelationen unterschiedliche Verteilungen liefern. Im zweiten Teil befassen wir uns mit dem kollektiven Risikomodell, wobei die Anzahl der Schäden eine bestimmte Poisson-Mischverteilung hat. Da es ein allgemeiner Ansatz ist, eine Gammaverteilung als Mischverteilung zu wählen, verallgemeinern wir diesen Misch-Ansatz zu verallgemeinerten Gammafaltungen. Auf diese Weise verallgemeinern wir auch das CreditRisk+ Modell. Man definiert eine verallgemeinerte Gammafaltung als den schwachen Grenzwert einer Folge endlich vieler Faltungen von Gammaverteilungen. Bereits bekannte Rekursionen für solch eine zusammengesetzte Poisson-Mischverteilung erfordern in jedem Schritt die Auswertung eines Integrals. Dies kann einen hohen Rechenaufwand und auch einen numerischen Fehler verursachen. Wir umgehen die Berechnung dieses Integrals in jedem Schritt, indem wir beweisen, dass eine geeignete Folge von Zufallsvariablen existiert, die gegen die Poisson-Mischverteilung konvergiert, was die Anwendung der Panjer Rekursion erlaubt. Infolgedessen geben wir eine Fehlerabschätzung für die Approximation dieser Folge bezüglich des Totalvariationsabstandes an. Unter Benutzung dieser Fehlerabschätzung einer geeigneten Approximation stellen wir einen Algorithmus für die Berechnung der Verteilung des Gesamtverlustes vor. Bis jetzt ist dieses Modell nur im eindimensionalen Fall betrachtet worden. Es ist allerdings auch interessant, mehrere Geschäftsbereiche zu betrachten, was ein multivariates Modell impliziert. Dies geschieht mithilfe multivariater verallgemeinerter Gammafaltungen. Wir beweisen ein alternatives Ergebnis zur Abgeschlossenheit der multivariaten verallgemeinerten Gammafaltungen, die durch endliche viele Faltungen von multivariaten Gammaverteilungen approximiert werden können. Wir geben ebenfalls eine obere Schranke für die Fehlerabschätzung bezüglich des Totalvariationsabstandes wie im eindimensionalen Fall an. Es ist auch möglich, eine Darstellung zu finden, die eine Anwenung der Panjer Rekursion gestattet, um die Verteilung der entsprechenden Zufallssumme zu berechnen. Wir schließen mit Beispielen, die die Vorteile unseres Algorithmus' im Gegensatz zur schnellen Fourier Transformation und einer verbesserten Variante der schnellen Fourier Transformation hervorheben.

This thesis examines two generalizations of the CreditRisk+ model and applications of Panjer's recursion. In the first part we discuss a generalization of the collective risk model and of Panjer's recursion. The model we consider consists of several business lines with dependent claim numbers. It is a sum of collective risk models. The distributions of the claim numbers are assumed to be Poisson mixture distributions. A mixing distribution reflects a default cause in the CreditRisk+ model which, mathematically seen, is also a collective risk model. In our contribution we let the default causes have certain dependence structures and prove that Panjer's recursion is also applicable by finding an appropriate equivalent representation of the claim numbers. These dependence structures are of a stochastic linear nature. Such stochastically linear dependence scenarios are also capable of producing negative correlations between the default causes. Compounding the default causes by common distributions also keeps Panjer's recursion applicable. In addition, we prove that if claim size distributions depend on each other linearly and stochastically, the compound distribution can be evaluated by Panjer's recursion. It is also possible to prove a multivariate variant of both Panjer's and de Pril's recursion if the claim sizes are not i.i.d. but exchangeable. We put all this into corresponding algorithms. Using these results we compute risk contributions of the risks due to a default cause with such dependence structures. For this purpose we use the risk measure conditional expected shortfall that also allows us to consider risk allocations in a multiperiod model. Indeed, examples show that different types of correlation provide different distributions. In the second part we discuss the collective risk model where the number of claims has a certain Poisson mixture distribution. Since it is a common approach to choose a gamma distribution as a mixing distribution, we generalize this mixture approach to generalized gamma convolutions. In doing so, we also generalize the CreditRisk+ model. A generalized gamma convolution is defined as the weak limit of a sequence of finitely many convolutions of gamma distributions. Already known recursions for such a compound Poisson mixture distribution require the evaluation of an integral in each step. This may cause high computational effort and also a numerical error. We circumvent the computation of this integral in each step by proving that an appropriate sequence of random variables exists converging to the Poisson mixture distribution, which allows for the application of Panjer's recursion. Consequently, we give an error estimate with respect to the total variation distance for the approximation by this sequence. Using this error bound of a proper approximation we present an algorithm for the calculation of the distribution of the total loss. So far, this model has been discussed in the univariate case. However, it is also interesting to consider several lines of business, which indicates the usefulness of a multivariate model. This is realized with the help of multivariate generalized gamma convolutions. We prove an alternative closure result that shows how to approximate a multivariate generalized gamma convolution by finite multivariate gamma convolutions. We also give an upper bound for an error estimate with respect to the total variation distance, as in the univariate case. It is possible to find a representation allowing for an application of Panjer's recursion in order to evaluate the distribution of the corresponding random sum, too. We conclude with examples that pinpoint the advantages of our algorithm in contrast to fast Fourier transform and an improved variant of fast Fourier transform.