How general is holography? : flat space and higher-spin holography in 2+1 dimensions

Abstract

"Wie allgemein ist das holographische Prinzip?- Dieser Frage werde ich mich in meiner Dissertation widmen. Sie ist von so fundamentaler Natur, dass es sinnvoll erscheint, sich diesem Problem in einer Umgebung zu stellen, die möglichst simpel, aber dennoch interessant und komplex genug ist, um generelle Aussagen tätigen zu können. Da Gravitation in 2+1 Dimensionen diesen Anforderungen entspricht, werde ich mich auf Holographie konzentrieren, deren Gravitationstheorien 2+1 Dimensionen und deren Quantenfeldtheorien 1+1 Dimensionen aufweisen. Die zwei wichtigsten Gründe hierfür sind, dass (i) Gravitation in 2+1 Dimensionen technisch sehr effizient beschrieben werden kann, und (ii) dass die dualen Quantenfeldtheorien unendlich viele Symmetrien haben und somit einen sehr hohen Grad an Kontrolle erlauben. Dies ermöglicht es, neuartige holographische Korrespondenzen exakt zu überprüfen. Von speziellem Interesse, was die allgemeine Gültigkeit des holographischen Prinzips betrifft, sind so genannte Höhere-Spin-Gravitationstheorien, welche die übliche lokale Koordinateninvarianz mit weiteren verallgemeinerten Symmetrien erweitern. Zunächst beschäftige ich mich mit Höherer-Spin-Holographie, die auf Raumzeiten basiert, welche nicht asymptotisch Anti-de-Sitter sind. Von einer gegebenen Gravitationstheorie ausgehend, bestimme ich in weiterer Folge die dazugehörigen asymptotischen Symmetrien der dualen Quantenfeldtheorien und unitäre Repräsentationen dieser Symmetriealge- bren. Weiters beschreibe ich eine Möglichkeit, im Rahmen dieser "nicht-Anti-de-Sitter- Holographie" eine duale Quantenfeldtheorie zu erhalten, welche eine beliebig große (aber nicht unendliche) Anzahl von Quantenzuständen zulässt. Der zweite Teil dieser Dissertation beschäftigt sich mit Holographie für asymptotisch flache Raumzeiten. Zuerst zeige ich, wie man verschiedene Ergebnisse, wie zum Beispiel eine (Höhere-Spin) Cardy-Formel für flache Raumzeiten, welche die Anzahl der Quan- tenzustände einer konformen Feldtheorie bei einer bestimmten Temperatur angibt, oder die asymptotischen Symmetrien von asymptotisch flachen Raumzeiten als Limes einer verschwindenden kosmologischen Konstante der bekannten Anti-de-Sitter-Ergebnisse er- halten kann. Weiters setze ich mich mit unitären Repräsentationen der asymptotischen Symmetrieal- gebren von asymptotisch flachen Raumzeiten auseinander. Dies führt unter bestimmten Annahmen zu einem NO-GO-Theorem, welches nicht gleichzeitig flache Raumzeiten, Höhere-Spin-Symmetrien und Unitarität erlaubt. Ebenso wird eine Möglichkeit, dieses NO-GO-Theorem zu umgehen, explizit behandelt. Überdies werde ich zeigen, wie man asymptotisch flache Raumzeiten inklusive (Höhere- Spin) chemischer Potentiale holographisch konsistent beschreiben kann. Ebenso werde ich die dazugehörige thermale Entropie von bestimmten kosmologischen asymptotisch flachen Raumzeiten bestimmen. Den Schluss meiner Dissertation bildet eine explizite Überprüfung des holographischen Prinzips für asymptotisch flache Raumzeiten. Ich präsentiere eine Methode, die eine bestimmte Form einer Wilson-Schleife darstellt, welche eine holographische Bestimmung der Verschränkungsentropie von Feldtheorien erlaubt, von denen angenommen wird, dual zu asymptotisch flachen Raumzeiten zu sein. Ich erweitere die Methode überdies, um auch erfolgreich Höhere-Spin-Symmetrie miteinzubeziehen und die thermale Entropie der zugehörigen dualen Feldtheorien bestimmen zu können.

"How general is the holographic principle?- This is the question I will explore in this thesis. As this question is very fundamental, one is well advised to try and tackle the problem in an environment which is as simple as possible but still interesting and complex enough to allow for a general interpretation of the results. Since gravity in 2+1 dimensions satisfies those requirements I will focus on holography involving 2+1 dimensional spacetimes and 1+1 dimensional quantum field theories. The two most important reasons for this are: (i) gravity in 2+1 dimensions can be described very efficiently on a technical level. (ii) The dual quantum field theories have infinitely many symmetries and thus allow for a very high degree of control. This allows one to explicitly and exactly check new holographic correspondences. Of very special interest regarding the generality of the holographic principle are so-called higher-spin gravity theories which extend the usual local invariance under coordinate changes by a more general set of symmetries. In this thesis I will first focus on higher-spin holography which is based on spacetimes that do not asymptote to Anti-de Sitter spacetimes. Starting from a given higher-spin theory I will determine the corresponding asymptotic symmetries of the corresponding dual quantum field theories and their unitary representations. Furthermore, using "non-Anti-de Sitter holography" I will describe a dual quantum field theory, which allows for an arbitrary (albeit not infinitely) large number of quantum microstates. The second part of this thesis is concerned with holography for asymptotic flat spacetimes. First I will show how to obtain various results, like an analogue of a (higher-spin) Cardy formula which counts the number of microstates of a conformal field theory at a given temperature, or the asymptotic symmetries of asymptotically flat spacetimes, as a limit of vanishing cosmological constant from the known Anti-de Sitter results. Furthermore, I will explore unitary representations of the asymptotic symmetry algebras of asymptotically flat spacetimes, which under certain assumptions, will result in a NO-GO theorem that forbids having flat space, higher-spins and unitarity at the same time. In addition I will elaborate on a specific example that allows to circumvent this NO-GO theorem. I will also show how to consistently describe asymptotically flat spacetimes with additional (higher-spin) chemical potentials in a holographic setup and how to determine the corre- sponding thermal entropy of certain cosmological asymptotically flat spacetimes. The finale of this thesis will be an explicit check of the holographic principle for asymp- totically flat spacetimes. I will present a method, using a special version of a Wilson-line, which allows one to determine the entanglement entropy of field theories which are assumed to be dual to asymptotically flat spacetimes in a holographic manner. I will also extend this method in order to be able to also successfully include higher-spin symmetries and determine the thermal entropy of the corresponding dual field theories.